Questioni di statistica, calcolo delle probabilità, calcolo combinatorio
29/12/2023, 14:43
Ciao, ho il seguente esercizio:
Due amici A e B si sfidano a dama facendo un gran numero di
partite. Supponiamo che i risultati delle partite siano indipendenti e che A
vinca B in una singola partita con probabilità 1/2, pareggi con probabilità
1/10 e perda con probabilità 4/10. Si indichi con N il numero di partite
giocate affinché ci sia la prima partita pareggiata.
a) Qual è la distribuzione di N?
b) Sapendo che N = 2, qual è la probabilità che la prima partita sia stata
vinta da A?
c) Calcolare approssimativamente qual è la probabilità che, dopo 100 pa
tite, A superi B di almeno 10 vittorie?
nel punto a) ho utilizzato la variabile aleatoria geometrica con parametro p=1/10 cioè $(1/10)(1-(1/10))^(n-1)$
nel punto b) sappiamo che ogni partita è indipendente quindi la probabilità che A abbia vinto nella prima partita è semplicemente $1/2$
nel punto c) non so come andare avanti, credo che si possa usare in qualche modo l'approssimazione normale per la binomiale ma non riesco a trovare la logica, qualcuno sa come procedere?
Grazie in anticipo
29/12/2023, 15:36
kiop01 ha scritto:nel punto b) sappiamo che ogni partita è indipendente quindi la probabilità che A abbia vinto nella prima partita è semplicemente $1/2$
Siamo sicuri? La prima partita è stata vinta da qualcuno.
29/12/2023, 15:48
kiop01 ha scritto:nel punto c) non so come andare avanti, credo che si possa usare in qualche modo l'approssimazione normale per la binomiale ma non riesco a trovare la logica, qualcuno sa come procedere?
Non la binomiale. Hai la somma di 100 variabili casuali con distribuzione $P(1)=0,5, P(0)=0,1, P(-1)=0,4$.
Catena di Markov o teorema centrale del limite a questo punto, direi.
29/12/2023, 16:19
ghira ha scritto:
Siamo sicuri? La prima partita è stata vinta da qualcuno.
Hai ragione, allora direi $(P(A)*P(p))/(P(A)*P(p)+P(B)*P(p))=5/9$
con P(A)=probabilità che A vinca una partita, P(B)=probabilità B vinca una partita e P(p)=probabilità di un pareggio
29/12/2023, 16:27
kiop01 ha scritto:direi $(P(A)*P(p))/(P(A)*P(p)+P(B)*P(p))=5/9$
con P(A)=probabilità che A vinca una partita, P(B)=probabilità B vinca una partita e P(p)=probabilità di un pareggio
Più semplicemente:
Prob. che la prima partita sia stata vinta da A, dato che è stata vinta da qualcuno.
$\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}=5/9$
29/12/2023, 17:24
kiop01 ha scritto:c) Calcolare approssimativamente qual è la probabilità che, dopo 100 partite, A superi B di almeno 10 vittorie?
Con una catena di Markov ottengo 0,522419743
Ma vorranno il teorema centrale del limite, mi sa.
29/12/2023, 17:51
esattamente, io usando $P(Z<=(a-n*E[X])/(sqrt(n*Var[X])))$ ottengo che siccome n=100 e a=10 allora $a-n*(1/10)=0$ e quindi dalle tabelle gaussiane $P(Z<=0)=0.5$ è possibile?
29/12/2023, 18:03
kiop01 ha scritto:esattamente, io usando $P(Z<=(a-n*E[X])/(sqrt(n*Var[X])))$ ottengo che siccome n=100 e a=10 allora $a-n*(1/10)=0$ e quindi dalle tabelle gaussiane $P(Z<=0)=0.5$ è possibile?
Non vuoi $Z\ge$ qualcosa? O hai invertito le cose perché le tabelle... hmm ok... E da qualche parte userei 9,5 invece di 10.
Ultima modifica di
ghira il 30/12/2023, 13:48, modificato 1 volta in totale.
30/12/2023, 12:14
ghira ha scritto:Non vuoi $Z\ge$ qualcosa? O hai invertito le cose perché le tabelle... hmm ok... E da qualche parte userei 9,5 invece di 10. O 10,5 invece di 10.
Ti riferisci ad a? perché non dovrei porlo =10?
30/12/2023, 12:49
Se vogliono la probabilità di esattamente 10 cosa fai?
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.