Funzioni di classe $C^n$ e teorema di Schwarz

Più che altro siccome l'ipotesi scritta nei miei appunti (e nel libro che sto utilizzando) è che la funzione sia di classe $C^2$ mi chiedevo perché quel teorema si applicasse anche a $sqrt(x^2+y^2)$.

Ma infatti non si applica a quella funzione, quanto meno non in tutto il suo insieme di definizione “naturale”. Perché?

Comunque almeno ho capito che non è necessario che la funzione sia di classe $C^2$.

Qui ci sarebbe da indagare un po’ più a fondo, perché sento puzza di possibile fraintendimento.
Spiega cosa hai capito, portando qualche esempio, se vuoi.

Ma infatti non si applica a quella funzione, quanto meno non in tutto il suo insieme di definizione “naturale”. Perché?

Perché le derivate parziali prime non sono definite in $(0,0)$, quindi neanche mi verrebbe in mente di calcolare $f_(xy)$ e $f_(yx)$ in quel punto, però il teorema si applica in tutti gli altri punti ($f_(xy)=f_(yx)$ per ogni $x$ appartenente al dominio delle derivate parziali miste seconde) ed è questo quello che mi interessa.

Qui ci sarebbe da indagare un po’ più a fondo, perché sento puzza di possibile fraintendimento.
Spiega cosa hai capito, portando qualche esempio, se vuoi.

Che è sufficiente che $f_(xy)$ e $f_(yx)$ siano definite in un intorno di $x$ e continue in $x$, cioè è sufficiente considerare un intorno delle derivate seconde anziché tutto il dominio della funzione originaria.