10/02/2024, 12:41
10/02/2024, 13:33
10/02/2024, 13:51
10/02/2024, 14:25
10/02/2024, 14:48
10/02/2024, 15:01
Siano le:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ (1)
$\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' $ (2)
a scanso di equivoci voglio qui mostrare (2)=>(1): $[\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' ]$ => $[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon ]$
l'altra <= non la svolgo perché non è qui il dubbio
parto da per ogni $epsilon$ di (1), cioè l'antecedente della proposizione (1).
Siccome io ho nella (2) ossia la mia HP $forallepsilon'$, quindi una arbitrarietà, io posso scegliere $epsilon*k=epsilon''$ da cui discende per la (2) un $delta_(epsilonk)$ tale per cui $0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
in sostanza è come se dicessi: scelgo $epsilonk=epsilon''$:
$forall epsilon'' : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilon'') \Rightarrow |f(x) - l| <epsilon'' $ (e mi sono ricondotto alla definizione di limite, che dimostra =>) mi pare giusto no? Mi preme capire se ho detto fesserie
10/02/2024, 16:15
Mephlip ha scritto:\[
\left[\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta_{\varepsilon} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon}\right) \implies \left(|f(x)-l|<k\varepsilon\right) \right]
\]
\[
\implies \left[\forall \varepsilon'>0 \ \exists \delta_{\varepsilon'} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon'}\right) \implies \left(|f(x)-l|<\varepsilon'\right) \right]
\]
10/02/2024, 17:30
gandolfo_m ha scritto:
In principio è la arcinota
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
Io l'ho sempre letta così: fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio iniziale sono a cavallo e ho la definizione di limite verificata.
Tutto bello e idilliaco finché mi scontro con una dimostrazione in cui si arriva a:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $, sia k>0 in tal caso.
Ecco, quel k mi manda in crisi: perché ora la definizione par essere, fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio moltiplicato per una costante k anche qusto verifica la definizione di limite. Bel problema perché a intuizione non mi trovo più: io seleziono un primo raggio di controllo $epsilon$ ma poi verifico che la funzione rispetta in fin dei conti: $|f(x) - l| <k*\varepsilon $, quindi stà in un raggio più grande di quello iniziale. E perché questo dovrebbe essere un limite? A me sembra uscire dal primo intorno, e non mi ci ritrovo minimamente.
11/02/2024, 12:44
11/02/2024, 13:22
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