06/10/2012, 11:25
06/10/2012, 11:45
06/10/2012, 12:29
giusi, ha scritto:Se la funzione è continua in a ed esiste il limite destro della derivata(finito o infinito), allora esiste la derivata destra, e coincide con quel limite. Un analogo enunciato vale per la derivata sinistra , e quindi per la derivata.
Allora per quanto riguarda la frase e coincide con quel limite. non ho capito proprio cosa vuol dire...
l'altra frase invece , e quindi per la derivata. vuol dire che un punto è derivabile se esiste il limite della derivata detstra, esiste il limite della derivata sinistra e i due limiti coincidono? (naturalmente la funzione nel punto è continua)
Siano \(I\) un intervallo, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un punto di accumulazione a destra [risp. a sinistra] per \(I\) (nel senso che a destra [risp. a sinistra] di \(x_0\) cadono infiniti punti di \(I\) distinti da \(x_0\)).
Se:allora la funzione \(f\) è dotata di derivata destra [risp. sinistra] in \(x_0\), cioè esiste finito il:
- \(f\) è continua in \(x_0\),
- \(f\) è derivabile in un intorno destro [risp. sinistro] di \(x_0\) contenuto in \(I\) (ma non necessariamente in \(x_0\)),
- esiste finito il \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)\) [risp. \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x)\)],
\[
f^\prime (x_0^+):=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \qquad \text{[risp. } f^\prime (x_0^-):= \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{]}
\]
(che coincide per definizione con la derivata di \(f\) a destra [risp. a sinistra] di \(x_0\)); inoltre vale l'uguaglianza:
\[
f^\prime (x_0^+) = \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x) \qquad \text{[risp. } f^\prime (x_0^-) = \lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x) \text{].}
\]
Siano \(I\) un intervallo, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\) un punto di accumulazione per \(I\).
Se la funzione \(f\) è continua in \(x_0\), derivabile intorno a tale punto (ma non necessariamente in tale punto) ed esiste finito il \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f^\prime (x)\), allora \(f\) è derivabile in \(x_0\) e si ha:
\[
f^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0} f^\prime (x)\; .
\]
06/10/2012, 14:53
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