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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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Re: Controesempi in Analisi

21/06/2015, 13:08

un controesempio sul teorema di Rolle

$y=|x|$ in $[-1,1]$
la funzione è continua nell'intervallo,si ha $f(-1)=f(1)$,ma è derivabile solo in $(-1,1)-{0}$

non esiste un punto interno all'intervallo in cui si annulli la derivata

Re: Controesempi in Analisi

01/07/2015, 23:53

Esempio di funzione derivabile ma non \( \displaystyle \mathcal{C}^1 \) (cioè la derivata non è continua).
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x), & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]
La derivata di questa funzione non è continua in zero.

Esempio di funzione con derivata positiva in un punto ma non crescente in nessun intorno di tale punto.
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x)+x, & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]
La derivata in zero vale 1 ma la funzione non è crescente in nessun intorno di zero.

Re: Controesempi in Analisi

17/07/2015, 18:43

quantunquemente ha scritto:un controesempio sul teorema di Rolle

$y=|x|$ in $[-1,1]$
la funzione è continua nell'intervallo,si ha $f(-1)=f(1)$,ma è derivabile solo in $(-1,1)-{0}$

non esiste un punto interno all'intervallo in cui si annulli la derivata


ciao caro non capisco il tuo contro-esempio... il teorema di Rolle dice che:

se una funzione è continua e derivabile in un intervallo $(a,b)$ e se $f(a)=f(b)$ allora esiste almeno un punto $c in (a,b)$ tale che $f'(c)=0$

ma la tua funzione $|x|$ non è derivabile in $RR$ come tu stesso dici... in $x=0$ ha un punto angoloso per cui cadono le ipotesi del teorema di Rolle che quindi non è applicabile

ciao!
Ultima modifica di mazzarri il 17/07/2015, 19:05, modificato 1 volta in totale.

Re: Controesempi in Analisi

17/07/2015, 18:58

ciao
il mio controesempio segue l'indicazione scritta da gugo nel punto 1) del suo primo post

Re: Controesempi in Analisi

17/07/2015, 19:06

[/quote="quantunquemente"]ciao
il mio controesempio segue l'indicazione scritta da gugo nel punto 1) del suo primo post[/quote]


:smt023 :smt023

Re: [CiA] Il serpente topologico

03/01/2017, 14:07

Salve a tutti. Riscrivo con molto piace su questo forum dopo credo 10 anni! :D
Non so se l'utente j18eos frequenta ancora il forum. Stavo leggendo questo topic è qualcosa non mi torna nella dimostrazione riportata sotto. Ovviamente la domanda è posta a tutti gli utenti :wink:

j18eos ha scritto: Il serpente topologico è un insieme connesso ma non connesso per cammini!

Dimostrazione. Sia \(\displaystyle(0;y_1)\in\overline{X}\); per assurdo esista una funzione continua \(\displaystyle\gamma\) da \(\displaystyle[0;1]\) a \(\displaystyle\overline{X}\) tale che \(\displaystyle\gamma(0)\in X\) e \(\displaystyle\gamma(1)=(0;y_1)\).
Posto:
\[
p_1:(x;y)\in\overline{X}\to x\in[0;+\infty[
\]
si consideri:
\[
\sup\{t\in[0;1]\mid p_1(\gamma(t))>0\}=\sup X_+=\tau
\]
per ipotesi \(\displaystyle0\leq\tau<1\) ovvero essendo \(\tau\) il minimo dei maggioranti di \(\displaystyle X_+\) si ha che:
\[
\forall t\in]\tau;1],\,p_1(\gamma(t))=0.
\]
Ricordata la definizione dell'estremo superiore per l'insieme \(\displaystyle X_+\):
\[
\forall t\in X_+,\,t\leq\tau,\\
\forall\epsilon>0,\,\exists t\in X_+\mid\tau-\epsilon\leq t\leq\tau
\]
per il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue:
\[
\exists\delta>0:\forall t\in]\tau-\delta;\tau+\delta[\cap[0;1],\,p_1(\gamma(t))>0
\]
quindi per la seconda proprietà che definisce l'estremo superiore di un insieme, dev'essere \(\tau=1\) in assurdo con quanto affermato!

Onde evitare l'assurdo \(\displaystyle\overline{X}\) non è un insieme connesso per cammini.


Non mi torna la parte finale del ragionamento, ossia il modo in cui vine applicato il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue. D'accordo che \(p_1 \circ \gamma \) è una funzione continua, ma per poter applica il teorema dovrebbe essere \( p_1(\gamma(\tau))>0 \), ma non mi pare sia così in questo caso; infatti \(\tau\) non appartiene all'insieme \(X_+\) (altrimenti sarebbe il massimo di quell'insieme, mentre il supp in generale è solo il minimo dei maggioranti, e come tale può non appartenere all'insieme).
Sbaglio in qualcosa?
Accetto volentieri pareri :)

Re: Controesempi in Analisi

12/12/2019, 22:30

Un noto teorema di analisi 1 asserisce che se $f: I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione definita sull'intervallo $I$, continua e invertibile, allora anche la sua inversa $f^{-1}$ è continua nel rispettivo dominio.
Tale teorema non è più vero se $I$ non è un intervallo.
Come controesempio consideriamo la funzione:
\[f: D=[0,1) \cup [2,3] \to \mathbb{R} \quad | \quad f(x)=
\begin{cases}
x \quad \text{se} \quad x \in [0,1)\\
x-1 \quad \text{se} \quad x \in [2,3]\\
\end{cases}
\]
Ovviamente $f$ è continua e invertibile nel suo dominio $D$, con inversa:
\[f^{-1}: [0,1) \cup [1,2] \to [0,1) \cup [2,3] \quad | \quad f^{-1}(y)=
\begin{cases}
y \quad \text{se} \quad y \in [0,1)\\
y+1 \quad \text{se} \quad y \in [1,2]\\
\end{cases}
\]
Tuttavia $f^{-1}$ non è continua nel punto $x=1$ dato che:
\[\lim_{y \to 1^-} f^{-1}(y)=\lim_{y \to 1^-} y=1\]
mentre:
\[\lim_{y \to 1^+} f^{-1}(y)=\lim_{y \to 1^+} (y+1)=2\]
e quindi limite destro e sinistro non coincidono (discontinuità a salto nel punto $x=1$).

Quanto detto può sembrare banale, ma talvolta durante un esame può capitare di trascurare l'ipotesi che $I$ sia un intervallo.

Re: Controesempi in Analisi

13/12/2019, 14:46

Una funzione reale di variabile reale $f: I=(x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice analitica in $I$ (e si scrive $f \in C^{\omega}(I)$) se è infinitamente derivabile in $I$ (cioè $f \in C^{\infty}(I)$) e se coincide in $I$ con la sua serie di Taylor$:
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \quad \forall x \in I\]
Tuttavia, il fatto che $f$ sia infinitamente derivabile non implica necessariamente l'analiticità, cioè la sua serie di Taylor potrebbe non convergere, o convergere a un valore diverso da $f(x)$ (insomma $C^{\omega} \subset C^{\infty}$ strettamente).
Per mostrare ciò, si ricorre spesso al seguente facile controesempio:
\[f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad | \quad f(x)=
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}} \quad \text{se} \quad x \neq 0\\
0 \quad \text{se} \quad x=0\\
\end{cases}
\]
Mostriamo che $f$ è infinitamente derivabile nel punto $x_0=0$ con derivate tutte nulle.

Chiaramente la funzione è infinitamente derivabile in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Fissiamo un punto generico $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Dimostriamo per induzione che $f^{(n)}(x)=P_n(\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x^2}} \quad \forall n \in \mathbb{N}$ dove $P_n(\frac{1}{x})$ è un polinomio di grado $3n$.
Ovviamente:
\[n=1 \Longrightarrow f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}}\]
Inoltre supponendo vero che $f^{(n)}(x)=P_n(\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x^2}}$ (ipotesi induttiva) risulta:
\[f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\left[P_n\left(\frac{1}{x}\right)\right]e^{-\frac{1}{x^2}}+\frac{2}{x^3}P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\frac{d}{dx}\left[a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n}+\dots+a_1\frac{1}{x}+a_0\right]e^{-\frac{1}{x^2}}+\\
\\
+\left[2a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n+3}+\dots+2a_1\left(\frac{1}{x}\right)^4+2a_0\left(\frac{1}{x}\right)^3\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\left[-3na_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n-1+2}-\dots-a_1\left(\frac{1}{x}\right)^2\right]e^{-\frac{1}{x^2}}+\\
\\
+\left[2a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n+3}+\dots+2a_1\left(\frac{1}{x}\right)^4+2a_0\left(\frac{1}{x}\right)^3\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\left[2a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3(n+1)}+\dots-a_1\left(\frac{1}{x}\right)^2\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}\]
con $P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)$ polinomio di grado $3(n+1)$.
Dunque adesso risulta:
\[\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)=\lim_{x \to 0} P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0} \left[a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n}+\dots+a_1\left(\frac{1}{x}\right)+a_0\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3n}}\left(a_{3n}+\dots+a_1x^{3n-1}+a_0x^{3n}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=a_{3n}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{3n}}}{e^{\frac{1}{x^2}}}=a_{3n}\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\frac{3n}{2}}}{e^t}=0 \quad \forall n \in \mathbb{N}\]
avendo posto $t=\frac{1}{x^2}$.
Quindi per un noto teorema dell'analisi $\exists f^{(n)}(0)=\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)=0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$.
Quindi abbiamo che la serie di Taylor di $f$ nel punto $x_0=0$ è data da:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]
Quindi $f$, pur essendo infinitamente derivabile in $\mathbb{R}$, non coincide con la sua serie di Taylor (se non nel punto $x_0=0$ dove $f(x_0)=0$) e non è dunque analitica.
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