Derivata n-esima del logaritmo

Com'è possibile trovare la derivata n-esima di un logaritmo. Su un libro ho trovato una formula, ma senza dimostrazione. Qualche idea?

Provando anche con carta e penna a iterare il procedimento si riesce a trovare secondo me una formula generale...comincia a fare i primi 4,5 casi.

Dunque sia $y=log(x)$

$y'=x^-1$
$y''=-x^(-2)$

Vorrei dimostrare che : $y^(n)=x^(-n)(n-1)!(-1)^(n+1)$ ($y^n$ intendo derivata n-esima)

Questo si dimostra per induzione, per $n=1$ è vero

Ipotizziamo sia vero per $n$, dimostriamolo per $n+1$

$y^n=x^(-n)(n-1)!(-1)^(n+1)$ vera per ipotesi, derivando ottengo
$y^(n+1)=-nx^(-n-1)(n-1)!(-1)^(n+1)(-1)=x^(-n-1)*n!*(-1)^(n+2)$
Che è proprio quello che volevo dimostrare

Su un libro è riportato che:

$\frac{\d^n}{\dx^n} (\log f(x))=\sum_{k-1}^n (-1)^{k-1} B(n,k) \frac{\frac{\d^n}{\dx^n}f(x)^k}{kf(x)^k}$

dove $B(n,k)$ rappresenta il coefficiente binomiale "n su k". Qualcuno ha un'idea di come si dimostra?

Scusa ma derivata del logaritmo e derivata del logaritmo di una funzione sono due cose completamente diverse.
Sicuramente si dimostra anche questo per induzione comunque, prova a derivare e magari cambiare qualche indice della sommatoria dopo averlo fatto.