sommatoria di una successione di seni

Nella diffrazione ondosa da una fenditura rettangolare ho trovato questa sommatoria di seni:

sin(1 x)+sin(2 x)+sin(3 x)+.......+sin(n x),

dove con n intero si indica il numero di strisce in cui viene divisa l'altezza della fenditura.
1 x, 2 x, 3 x, ....n x, sono le fasi delle perturbazioni delle singole strisce.
Successivamente la precedente sommatoria viene posta uguale a:

[sin(n x/2) sin((n x + x)/2)]/sin(x/2)

Qualcuno sa indicarmi i passaggi necessari per ottenere quest'ultimo risultato?
grazie, Loris Lori

Hai provato a considerare

$sum_(k=1)^(n)e^(i(kx)$

Hai provato a considerare

$sum_(k=1)^(n)e^(i(kx)$

Ricordando altresì che la formula di sommazione delle progressioni geometriche vale anche in campo complesso è che la tua somma è il coefficiente dell'immaginario della somma segnalata da anto_zoolander.

Ciao loris.lori,

Visto che oggi ho un po' di tempo, ti mostro i passaggi necessari seguendo in buona parte le indicazioni di coloro che mi hanno preceduto. Si richiede di dimostrare che si ha:

$\sin(1x) + \sin(2x) + \sin(3x) + ...+ \sin(nx) = [sin(frac{nx}{2}) sin(frac{n x + x}{2})]/sin(frac{x}{2})$

Proveremo di più, come si dice in questi casi, cioè che si ha:

$\sum_{k = 0}^{n - 1} \sin(x + kt) = \sin x + \sin(x + t) + \sin(x + 2t) + ... + \sin[x + (n - 1)t] = $
$ = sin(frac{nt}{2})/sin(frac{t}{2}) \cdot sin[x + frac{(n - 1)t}{2}]$

Da notare che nel caso particolare in cui si assuma $t = x$ si ottiene proprio la relazione iniziale da dimostrare. Infatti si ha:

$\sum_{k = 0}^{n - 1} \sin(x + kt) = frac{1}{2i} \sum_{k = 0}^{n - 1} [e^{i(x + kt)} - e^{-i(x + kt)}] = frac{1}{2i} [e^{ix}\sum_{k = 0}^{n - 1} e^{ikt} - e^{-ix}\sum_{k = 0}^{n - 1}e^{-ikt}]$

Dato che le ultime scritte sono progressioni geometriche, possiamo calcolarne facilmente la somma e si ha:

$\sum_{k = 0}^{n - 1} \sin(x + kt) = frac{1}{2i} [e^{ix}\sum_{k = 0}^{n - 1} e^{ikt} - e^{-ix}\sum_{k = 0}^{n - 1}e^{-ikt}] = frac{1}{2i} [e^{ix} frac{1 - e^{i n t}}{1 - e^{it}} - e^{-ix} frac{1 - e^{-i n t}}{1 - e^{-it}}] =$
$= frac{1}{2i} [e^{ix} e^{frac{i n t}{2}}frac{e^{-frac{i n t}{2}} - e^{frac{i n t}{2}}}{e^{frac{i t}{2}}(e^{-frac{i t}{2}} - e^{frac{i t}{2}})} - e^{-ix} e^{-frac{i n t}{2}} frac{e^{frac{i n t}{2}} - e^{-frac{i n t}{2}}}{e^{-frac{i t}{2}}(e^{frac{i t}{2}} - e^{-frac{i t}{2}})}] = $
$= frac{1}{2i} [e^{ix} e^{frac{i (n - 1)t}{2}}frac{e^{-frac{i n t}{2}} - e^{frac{i n t}{2}}}{e^{-frac{i t}{2}} - e^{frac{i t}{2}}} - e^{-ix} e^{-frac{i (n - 1)t}{2}} frac{e^{frac{i n t}{2}} - e^{-frac{i n t}{2}}}{e^{frac{i t}{2}} - e^{-frac{i t}{2}}}] = $
$= frac{1}{2i} [e^{ix} e^{frac{i (n - 1)t}{2}}frac{e^{frac{i n t}{2}} - e^{-frac{i n t}{2}}}{e^{frac{i t}{2}} - e^{-frac{i t}{2}}} - e^{-ix} e^{-frac{i (n - 1)t}{2}} frac{e^{frac{i n t}{2}} - e^{-frac{i n t}{2}}}{e^{frac{i t}{2}} - e^{-frac{i t}{2}}}] = $
$= frac{1}{2i} [e^{ix} e^{frac{i (n - 1)t}{2}}frac{e^{frac{i n t}{2}} - e^{-frac{i n t}{2}}}{2i}\cdot frac{2i}{e^{frac{i t}{2}} - e^{-frac{i t}{2}}} - e^{-ix} e^{-frac{i (n - 1)t}{2}} frac{e^{frac{i n t}{2}} - e^{-frac{i n t}{2}}}{2i}\cdot frac{2i}{e^{frac{i t}{2}} - e^{-frac{i t}{2}}}] = $
$= frac{1}{2i} [e^{ix} e^{frac{i (n - 1)t}{2}}frac{\sin(frac{n t}{2})}{\sin(frac{t}{2})} - e^{-ix} e^{-frac{i (n - 1)t}{2}} frac{\sin(frac{n t}{2})}{\sin(frac{t}{2})}] = frac{\sin(frac{n t}{2})}{\sin(frac{t}{2})}\cdot frac{e^{ix} e^{frac{i (n - 1)t}{2}} - e^{-ix} e^{-frac{i (n - 1)t}{2}} }{2i} =$
$= frac{\sin(frac{n t}{2})}{\sin(frac{t}{2})}\cdot sin[x + frac{(n - 1)t}{2}]$

come volevasi dimostrare.

La somma dei seni di $ n $ angoli in progressione aritmetica di ragione $ x \ne 2k\pi $, si può calcolare anche senza ricorrere ai numeri complessi.
Moltiplicando per $ sin (x/2) $ tutti gli addendi ed applicando ad ogni prodotto la formula di Werner: $ sin \alpha sin \beta = 1/2[cos (\alpha-\beta)- cos(\alpha+\beta)] $, si ottiene una somma telescopica che si riduce a due soli termini; ritrasformabile in prodotto con la formula di prostaferesi.
Ciao

Vi ringrazio a tutti voi; non ci sarei arrivato anche se avessi continuato a scervellarmi per un'altra giornata.
Entrambe le dimostrazioni sono veramente ingegnose e belle ognuna per il suo verso.
La matematica è veramente stupefacente......

Ne abbiamo giá discusso sul forum
viewtopic.php?f=47&t=161894