Equazione con numeri complessi

Buongiorno, avrei bisogno di una mano con la seguente equazione:
$ z^2(1+|z|^2)=-2i $
Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?

La devi risolvere come risolveresti una semplice equazione nel campo dei reali

Ciao alemar05,

Userei le coordinate polari. Posto $z := \rho e^{i\theta} $, l'equazione proposta diventa la seguente:

$ \rho^2 e^{2i\theta}(1 + \rho^2) = - 2i = -(1 + i)^2 = 2 e^{i 3\pi/2} $

Perciò si ha:

$ \rho^2 (1 + \rho^2) = 2 $

e

$ e^{2i\theta} = e^{i 3\pi/2} \implies \theta = frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k = 0, 1$ (poi le soluzioni si ripetono). Dalla prima equazione si ha:

$\rho^4 + \rho^2 - 2 = 0 $

dalla quale si ottengono le soluzioni

$\rho_{1,2}^2 = frac{- 1 \pm sqrt{1 + 8}}{2} = frac{- 1 \pm sqrt{9}}{2} = frac{- 1 \pm 3}{2} $

Dato che $\rho $ è reale positivo, l'unica soluzione accettabile è $\rho^2 = 1 \implies \rho = 1 $. Perciò in definitiva le due soluzioni nelle tre forme esponenziale, trigonometrica ed algebrica sono le seguenti:

$ z_1 = 1 e^{i 3\pi/4} = cos(3\pi/4) + i sin(3\pi/4) = - frac{1 - i}{sqrt{2}} $ (per $k = 0$)

$ z_2 = 1 e^{i 7\pi/4} = cos(7\pi/4) + i sin(7\pi/4) = frac{1 - i}{sqrt{2}} $ (per $k = 1$)

Ciao alemar05,

Userei le coordinate polari. Posto $z := \rho e^{i\theta} $, l'equazione proposta diventa la seguente:

$ \rho^2 e^{2i\theta}(1 + \rho^2) = - 2i = -(1 + i)^2 = 2 e^{i 3\pi/2} $

Perciò si ha:

$ \rho^2 (1 + \rho^2) = 2 $

e

$ e^{2i\theta} = e^{i 3\pi/2} \implies \theta = frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k = 0, 1$ (poi le soluzioni si ripetono). Dalla prima equazione si ha:

$\rho^4 + \rho^2 - 2 = 0 $

dalla quale si ottengono le soluzioni

$\rho_{1,2}^2 = frac{- 1 \pm sqrt{1 + 8}}{2} = frac{- 1 \pm sqrt{9}}{2} = frac{- 1 \pm 3}{2} $

Dato che $\rho $ è reale positivo, l'unica soluzione accettabile è $\rho^2 = 1 \implies \rho = 1 $. Perciò in definitiva le due soluzioni nelle tre forme esponenziale, trigonometrica ed algebrica sono le seguenti:

$ z_1 = 1 e^{i 3\pi/4} = cos(3\pi/4) + i sin(3\pi/4) = - frac{1 - i}{sqrt{2}} $ (per $k = 0$)

$ z_2 = 1 e^{i 7\pi/4} = cos(7\pi/4) + i sin(7\pi/4) = frac{1 - i}{sqrt{2}} $ (per $k = 1$)

Grazie mille