Ciao Bremen000,
allora quando dici che \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=x_0 \) è un'applicazione del teorema dei carabinieri, cioè intendi dire:
Prop.1 Siano \(\displaystyle {a_n} ,b_n , c_n \) tre successioni tali che definitivamente \(\displaystyle a_n\le b_n \le c_n \) e che \(\displaystyle a_n \to l \) e \(\displaystyle c_n \to l \), allora anche la successione \(\displaystyle b_n \to l \).
Dimostrazione:
Le tre successioni in gioco sono:
\(\displaystyle a_n=x_0-\tfrac{1}{n} \)
\(\displaystyle b_n=x_n \)
\(\displaystyle c_n=x_0+\tfrac{1}{n} \)
fissiamo un intorno \(\displaystyle ] H,K[ \) di \(\displaystyle l \).
Faccio vedere che ogni successione convergente è limitata, prendo in esame la successione \(\displaystyle a_n \).
Prop.2 Se \(\displaystyle a_n \to l \) e se \(\displaystyle H<l<K \) allora definitivamente si ha \(\displaystyle H<a_n<K \), allora la successione convergente è limitata.Dimostrazione Prop.2
Scelto un intorno \(\displaystyle ] H,K[ \) di \(\displaystyle l \), per definizione di limite anche \(\displaystyle a_n \in ]H,K[ \), quello che noi interessa é \(\displaystyle a_n>H \), sappiamo che \(\displaystyle a_n \) è limitata inferiormente se esiste un \(\displaystyle H \) tale che \(\displaystyle a_n>H \) per un certo indice indice in poi.
In modo analogo succede per \(\displaystyle c_n \).
Fine dimostrazione Prop.2
Quindi dalla ipotesi che \(\displaystyle a_n \le c_n \) ne segue che \(\displaystyle a_n>H \) e \(\displaystyle c_n<H \).
Allora definitivamente si ha :
\(\displaystyle H<a_n\le b_n \le c_n < K \)
la dimostrazione è finita.
Spero di aver elaborato nel modo giusto
Questa è solo la prima parte.
Ciao