Come faccio questa dimostrazione su un problema di massimo?

Considera la funzione f :[a,b] →R, continua e convessa in [a,b]. spiega perché f ha un massimo in [a,b]; poi prova che il massimo è o f(a) o f(b).
Per quanto riguarda la prima domanda è per il teorema di weierstrass, ma non so come dimostrare la seconda

Hai sbagliato sezione: devi postare in analisi matematica (di base).

Lo fai facendo saltare la definizione di convessita'. Supponi che il massimo di $f$ sia raggiunto in un punto $x_M\in (a,b)$. Fai un disegno, tira il segmento che congiunge $(a,f(a))$ con $(b,f(b))$, e osserva dove deve stare il punto $(x_M,f(x_M))$.

Considera la funzione f :[a,b] →R, continua e convessa in [a,b]. spiega perché f ha un massimo in [a,b]; poi prova che il massimo è o f(a) o f(b).
Per quanto riguarda la prima domanda è per il teorema di weierstrass, ma non so come dimostrare la seconda

Io invece ti chiedo, è proprio necessaria la continuità? Non vale la stessa cosa anche senza chiedere che la funzione sia continua? Pensaci.

Tanto l’hai gratis all’interno: una funzione convessa è continua nell’interno del dominio.