Dimostrare la suriettività

Forse si potrebbe aggirare così...

Per qualsiasi \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) indichiamo con \(\displaystyle x' \) il suo analogo in \(\displaystyle \mathbb{R}' \).
Supponiamo dunque per assurdo che \(\displaystyle f(x)<x' \), e prendiamo un \(\displaystyle q'\in\mathbb{Q}' \) tale che:

$$f(x)<\underbrace{q'<x'}_{\implies q<x}$$

poiché \(\displaystyle f \) è l'identità su \(\displaystyle \mathbb{Q} \), si ha che:

$$f(x)<q'=f(q)<x'\implies f(x)<f(q)$$

che però è assurdo, perché va contro il fatto che \(\displaystyle f \) è crescente.


Una conferma mi sarebbe molto d'aiuto.
Grazie.