Convergenza ed insieme di convergenza puntuale cos(x)^n

Buongiorno, ho difficoltà ad individuare lo svolgimento corretto e motivato dello studio della convergenza di ∑ (cos(x))^(2n)

grazie in anticipo!

Ciao MarioFobas,

Benvenuto sul forum!

Nel titolo del tuo OP c'è scritta una cosa, nel testo un'altra...
Qual è la serie corretta? Supponendo che sia quella scritta nel testo dell'OP si ha:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} cos^{2n}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (cos^{2}(x))^n $

Dunque posto $y := cos^2 x \implies 0 \le y = cos^2 x \le 1 $ si tratta della ben nota serie geometrica.
Invece nell'altro caso della serie

$\sum_{n = 0}^{+\infty} cos^{n}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (cos(x))^n $

basta porre $y := cos x \implies - 1 \le y = cos x \le 1 $