Intanto dato l'insieme $A={(x,y)\in \RR: x^2+y^2=2} $ compatto, per il
Teorema di Weierstrass possiamo dedurre che la funzione $f(x,y)=|x|^(1/4)+|y|^(1/4)$, ivi continua, ammette massimo e minimo.
Inoltre la funzione e' sempre positiva o nulla, quindi $0 \leq f(x,y)$ $ \forall (x,y) \in \RR$ e l'unico punto per cui si annulla e' l'origine $O(0,0)$ che dunque e' il punto di minimo assoluto per f.
Per determinare gli eventuali punti di massimo possiamo procedere in vari modi.
Ad esempio, possiamo ricavare y dall'espressione che definisce l'insieme $A$ in quanto $y=\sqrt{2-x^2}$ e quindi sostituendo nella f otteniamo una funzione in una sola variabile $f(x)=|x|^(1/4)+|\sqrt{2-x^2}|^(1/4)$.
In tutti i punti dove $x>0$ la funzione valore assoluto e' positiva e pertanto derivabile e si ha
$$\lim_ {x\rightarrow x_0} \frac{|x|^{1/4}-|x_0|^{1/4}}{x-x_0} = \lim_ {x\rightarrow x_0} \frac{x^{1/4}-x_0^{1/4}}{x-x_0}=\frac{x^{-3/4}}{4}$$ essendo $x_0>0$.
Dunque si ha
$f'(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}-\frac{x}{4\sqrt{2-x^2}}$
Ponendo quindi la derivata uguale a zero si ottiene (evito di scrivere tutti i passaggi) $x^{-3/4}=\frac{x}{(2-x^2)^{7/8}}$ ossia $(2-x^2)^{7/8}=x^{7/4}$
Ovverosia $2-x^2=x^2$ la cui soluzione e' $x=1$ avendo posto $x>0$ per ipotesi e quindi $y=1$, $y=-1$.
Per $x<0$ il ragionamento e' analogo.
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gmorkk il 21/08/2018, 12:03, modificato 1 volta in totale.