Minimo vincolato

Salve,
è dato da trovare il min di $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ sul vincolo $x + 3y - 2z = 4$.

Prima di tutto vorrei capire se fosse possibile dimostrare l'esistenza di tale minimo, dato che chiaramente non è possibile usare Weiestrass su tale vincolo. Potreste aiutarmi su questo?

Comunque il mio procedimento, per la risoluzione, è stato il seguente:
imposto il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ottenendo la seguente funzione dipendente da t (non so scrivere lambda su LaTex):

$ x^2 + y^2 + z^2 - t(x+ 3y -2z -4) = 0$

RIsolvendo il sistema ho ottenuto il seguente risultato:

$x = 2/7$ , $y = 6/7$, $z = -4/7$
pertanto andando a sostituire all'interno della funzione ottengo che il minimo è: $ min = 56/49$.

Non avendo il risultato, potreste controllare se è esatto il risultato?

Grazie

il risultato mi viene uguale al tuo. per quanto riguarda la prima domanda non ne so praticamente niente ma da una lettura in rete: il minimo globale è garantito sotto certe ipotesi ed in certe condizioni per alcuni tipi di funzioni. leggendo mi si è aperto un mondo riguardo condizioni per garantire il minimo in problemi di programmazione lineare

Grazie della risposta.

il risultato mi viene uguale al tuo

Meno male.. mi sento più tranquillo.

Avrei pensato. Sicuramente non si ha max (infatti non è stato richiesto) poiché se le 3 variabili "esplodessero", il valore della funzione tenderebbe a infinito. Ditemi pure se ho detto una inesattezza.

Per quanto riguarda il minimo potrebbe essere che esiste poiché la funzione è quadratica e non lineare?
Mi spiego.. fosse stata $f(x,y) = x+y+z$, con lo stesso vincolo, impostando Lagrange, non si avrebbe avuto ne minimo ne massimo. Potrebbe essere? Oppure si potrebbe comunque fare qualche considerazione, che al momento non vedo, anche sul vincolo?

potrebbe essere che esiste poiché la funzione è quadratica e non lineare

ci sono problemi di ottimizzazione con funzioni obiettivo lineari e non quadratiche (programmazione lineare). è qualcosa legato alla convessità/concavità della funzione e della quasi-concavità. purtroppo le mie conoscenze non vanno oltre questo però

Se ci fai caso nel tuo esercizio hai da determinare la distanza tra un punto (l'origine) e un piano $pi$, puoi dimostrare che il minimo esiste considerando un punto $p\inpi$, poi consideri $K=\bar{B(0,||p||+1)}nnpi!=\emptyset$, si ha che $K$ è compatto e non vuoto, inoltre $\text{inf}_{pi} f(x,y,z)=\text{inf}_{K} f(x,y,z)=min_{K} f(x,y,z)>0$, quindi il primo $\text{inf}$ è realizzato dunque è un minimo, che è quello che volevamo.

grazie ad entrambi per le risposte.

Comunque da quanto mi pare di capire (spero qualcuno possa venirmi in aiuto), se il vincolo non è un compatto (e non si può pertanto applicare Weiestrass), e se la funzione è strettamente convessa allora esistono solamente punti di minimo globale. Può essere?

Ciao..
continuando a pensare a questo problema di esistenza, potreste indicarmi se quello che sto per dire è esatto?

Ovvero se, nel caso non potessi applicare Weiestrass, con f comunque continua, se $lim f(x)$ per la norma di x che tende ad infinito, è pari a zero, allora la funzione ammette minimo?

(scusate non riesco a scrivere il limite su LaTex)

Puoi concluderlo solo se esiste un punto in cui la funzione è negativa, invece se il limite per la norma di $x$ che tende a infinito è $+\infty$ vale sempre.