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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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serie di funzioni

11/10/2018, 22:36

Ciao, scusate la mia insistenza :-D

Vi riposto una parte di un esempio tratto da un libro su cui sto studiando

Ho una funzione definita come:

$$ u(x, t) = \sum^{\infty}_{n=1} e^{-nt} \frac {sin(nx)} {n^2}$$

in $Q = [0; \pi] \times [0; 1]$ (ovvero $x \in [0; \pi]$ e $ t \in [0; 1]$).

$u$ è convergente totalmente e ora voglio capire se è derivabile in $Q$. Faccio le derivate parziali:

$$ u_x = \sum^{\infty}_{n=1} e^{-nt} \frac {cos(nx)} {n}$$
$$ u_t = -\sum^{\infty}_{n=1} e^{-nt} \frac {sin(nx)} {n}$$

che hanno dei problemini per $t=0$. Se convergessero uniformemente allora sarebbe tutto ok, ma per $t=0$ non riesco a dimostrarlo allora non posso dire che $u$ è derivabile. Allora il libro fa questa astuzia: considera $Q^' = [0; \pi] \times [\delta; 1]$ ($\delta > 0$). In questo caso il valore assoluto delle derivate parziali per $t = \delta $ sono maggiorati da $ \frac {e^{-\delta t}} {n}$ e quindi posso dire che convergono totalmente (e quindi uniformemente). Quindi in $Q^'$ $u$ è derivabile.

A questo punto non capisco il passaggio logico:

"Poiché $u$ è derivabile in $Q^'$ allora è derivabile anche in $Q$".

Grazie in anticipo!

Re: serie di funzioni

12/10/2018, 09:10

Aspettiamo un analista, ma probabilmente il fatto è che le derivate convergono a funzioni continue su tutto il quadrato perché delta è arbitrario, e però non sono uniformemente continue (perché dato epsilon bla bla la disuguaglianza che prova la continuità non è uniforme in delta).

Re: serie di funzioni

12/10/2018, 10:19

Secondo me è un fatto molto più scemo. Semplicemente, quando dice "derivabile in \(Q\)", intende "derivabile nella parte interna di \(Q\)", ovvero in
\[
(0, \pi)\times (0, 1).\]

Re: serie di funzioni

12/10/2018, 14:37

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Però gli ingegneri che studiano PDE sono carini, in fondo... :lol:

Re: serie di funzioni

12/10/2018, 20:27

dissonance ha scritto:Secondo me è un fatto molto più scemo. Semplicemente, quando dice "derivabile in \(Q\)", intende "derivabile nella parte interna di \(Q\)", ovvero in
\[
(0, \pi)\times (0, 1).\]


Ma allora perché fare tutta questa "dimostrazione"? Levando i punti che non ti vanno bene dall'insieme è abbastanza ovvio che tutto poi ti torna...

@gugo82
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Lo so di essere più che scarso in queste cose, quindi per i prossimi tempi avrete a che fare con me assai di frequente :smt023
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