integrale approssimato

Ho difficoltà con il seguente esercizio. Valutare l'integrale $int_{0}^{1}(3x-1)^4dx$ sfruttando la formula di quadratura:
$int_{-1}^{1}f(x)dx~= 3/4f(-2/3)+1/2f(0)+3/4f(2/3)$
Ho provato a portare gli estremi di integrazione in $-1$ e $1$ con la sostituzione $x=1/2t+1/2$ e applicando all'integrale così ottenuto la suddetta formula ma non ottengo il risultato corretto. Suggerimenti?

Ciao, sarà un errore di conto. Posta i tuoi calcoli.

Ciao Andre@,

La sostituzione proposta mi sembra valida...
La butto lì, non è che per caso ti sei dimenticato che posto $ x:= 1/2 t + 1/2 $ si ha $dx = 1/2 dt $ ?

Con la sostituzione scritta sopra ottengo $1/2int_{-1}^{1}f(1/2t+1/2)dt=1/2int_{-1}^{1}(3/2t+1/2)^4dt$

Adesso se applico la formula di quadratura suggerita avrò

$1/2[3/4(-0.5)^4+1/2*1/16+3/4(3/2)^4]$
Che non dà il risultato esatto, contrariamente a quanto ci si aspetta da

Che non dà il risultato esatto

Perché dici ciò?

Calcolando l'integrale indefinito, che è praticamente elementare, si ha:

$\int (3x - 1)^4 dx = - 1/15 (1 -3x)^5 + c $

Per cui si ha subito $\int_0^1 (3x - 1)^4 dx = 11/5 = 2,2 $, mentre dalla formula di quadratura proposta si ha:

$ \int_0^1 (3x - 1)^4 dx = 1/2 \int_{-1}^{1}f(1/2t+1/2)dt=1/2int_{-1}^{1}(3/2t+1/2)^4 dt ~= $
$ ~= 1/2 [3/4f(-2/3)+1/2f(0)+3/4f(2/3)] = 1/2[3/4(-0.5)^4+1/2 \cdot 1/16+3/4(3/2)^4] = $
$ = 3/8 \cdot 1/16 + 1/4 \cdot 1/16 +3/8 \cdot 81/16 = \frac{3 + 2 + 243}{8 \cdot 16} = 248/128 = 1,9375 $

che non sarà un'approssimazione eccezionale, ma neanche poi così scarsa...

L'avevo trattata come formula gaussiana, quindi mi aspettavo fosse esatta per polinomi di grado fino al quinto! Invece non era così. È una formula esatta fino al terzo grado