13/01/2019, 19:26
Siano $(a,b)$ un intervallo, $f:(a,b) -> RR$ una funzione ed $x_0$ interno ad $(a,b)$.
Se $f$ è derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ ed $n$ volte in $x_0$, allora la differenza tra $f$ ed il suo polinomio di Taylor $T_n(*;x_0)$ d’ordine $n$ centrato in $x_0$ è infinitesima in $x_0$ d’ordine superiore ad $(x-x_0)^n$, i.e.:
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\; .
\]
In altre parole, il resto $r_n$ della formula di Taylor è infinitesimo in $x_0$ d’ordine superiore ad $n$, cioè:
\[
r_n(x) = \text{o} ( (x-x_0)^n)\; .
\]
Siano $(a,b)$ un intervallo, $f:(a,b) -> RR$ una funzione ed $x_0$ interno ad $(a,b)$.
Se $f$ è derivabile $n+1$ volte in $(a,b)$ allora per ogni $x in (a,b)$ esiste un $xi in [ min\{ x,x_0\}, \max \{ x,x_0\} ]$ tale che
\[
r_n (x) = \frac{1}{(n+1)!}\ f^{(n+1)} (\xi )\ (x-x_0)^{n+1}\;.
\]
13/01/2019, 20:20
13/01/2019, 20:50
13/01/2019, 21:01
13/01/2019, 21:39
13/01/2019, 22:10
gugo82 ha scritto:Sì.
13/01/2019, 23:36
13/01/2019, 23:46
14/01/2019, 02:23
Ianero ha scritto:"intorno ad".
Ianero ha scritto:Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:
\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:
\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
sì.
14/01/2019, 08:13
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