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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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esercizio

10/01/2019, 11:40

salve a tutti:
mi ritrovo ad affrontare questi 2 esercizi che non riesco proprio a capire come risolverli, avrei bisogno di un vostro aiuto.
non voglio solo capire come risolverlo, ma avrei bisogno di una spiegazione/regola che mi faccia capire come affrontare questa tipologia d'esercizio.
Grazie!:wink:

supposto che $ f(0)=-3$ e$ fprime(x)<=4$ , dire quale è la disuguaglianza corretta:
$ [1]f(2)>=10$
$ [2] f(3)<=9$
$ [3]f(2)<=10$
$ [4]f(2)>=9$

supposto che$ f(-1)=0$ e$ fprime>=5$ , dire quale è la disuguaglianza corretta:
$ [1] f(2)>=5$
$ [2]f(2)<=13$
$ [3]f(2)>=13$
$ [4]f(2)<=15$

Re: esercizio

10/01/2019, 14:26

Quali sono i teoremi che legano tra loro una funzione e la sua derivata?

Re: esercizio

10/01/2019, 23:48

gugo82 ha scritto:Quali sono i teoremi che legano tra loro una funzione e la sua derivata?


ciao gugo82,

il teorema di Rolle e Lagrance ?

Re: esercizio

11/01/2019, 00:44

Perfetto.
Vediamo se usandoli riusciamo a dire qualcosa.

Concentrati sul secondo e pensa un po' a cosa puoi tirarci fuori.

Re: esercizio

11/01/2019, 14:32

gugo82 ha scritto:Perfetto.
Vediamo se usandoli riusciamo a dire qualcosa.

Concentrati sul secondo e pensa un po' a cosa puoi tirarci fuori.


allora:
il teorema di Lagrange mi dice che:
se$ f:[a,b] $in R
ipotesi:
[1] $f$ continua in$ [a,b]$
[2]$f $è derivabile in$ (a,b)$

se valgono le ipotesi allora esiste un punto Xo appartenente all'intervallo$ (a,b) $tale che

f $ prime $ $(Xo)= (f(b)-f(a))/(b-a)$

quindi da quando ho capito devo prima definire un' intervallo, nel primo esercizio mi dice che la funzione calcolato in 0 vale -3 quindi$ a=0 $ e$ b=2?$ o$ b=3? $ $ [a,b]=[0,...]$
[1] $f(2)>=10$ considero ad esempio $f(2)=10$
effettuo i calcoli:
$(f(b)-f(a))/(b-a)<=4 $
$(10-(-3))/13=1 $
$ 1<=4$

il mio possibile svolgimento è corretto?
manca qualcosa (non ne sono molto convinto) :roll:

Grazie!

Re: esercizio

11/01/2019, 15:39

Ok, vediamo un po'.

Come detto, il teorema di Lagrange lega il comportamento della funzione negli estremi di un intervallo con quello della sua derivata prima nei punti interni. In particolare, come già ricordavi, risulta $f(b) - f(a) = f^\prime (c) *(b-a)$.

Ora, se $f^\prime (x) <= M$ nell'intervallo in esame, allora anche $f^\prime (c) <=M$ e quindi $f(b) - f(a) <= M*(b-a)$.
Da ciò segue che, se il comportamento di $f$ in uno degli estremi è noto, allora è possibile ricavare una stima (cioè una disuguaglianza) del comportamento di $f$ nell'altro estremo.
Qual è una tale stima?

Cosa succede, invece, se $f^\prime(x)>= m$ nell'intervallo?

Re: esercizio

11/01/2019, 16:09

gugo82 ha scritto:Ok, vediamo un po'.

Come detto, il teorema di Lagrange lega il comportamento della funzione negli estremi di un intervallo con quello della sua derivata prima nei punti interni. In particolare, come già ricordavi, risulta $ f(b) - f(a) = f^\prime (c) *(b-a) $.

Ora, se $ f^\prime (x) <= M $ nell'intervallo in esame, allora anche $ f^\prime (c) <=M $ e quindi $ f(b) - f(a) <= M*(b-a) $.
Da ciò segue che, se il comportamento di $ f $ in uno degli estremi è noto, allora è possibile ricavare una stima (cioè una disuguaglianza) del comportamento di $ f $ nell'altro estremo.
Qual è una tale stima?

Cosa succede, invece, se $ f^\prime(x)>= m $ nell'intervallo?


ciao gugo82,
sulla stima non saprei risponderti.
gugo82 ha scritto:Cosa succede, invece, se $ f^\prime(x)>= m $ nell'intervallo?


io penso che nel caso in cui $ f^\prime(x)>= m$ otterrei che $ f^\prime(c)>= m$

ma i calcoli che ho effettuati mi avvicinano o allontanano dalla soluzione?

Grazie!

Re: esercizio

11/01/2019, 18:46

Rifletti bene su quel che ti ho scritto, per favore.
La soluzione dei tuoi esercizi è lì.

Re: esercizio

12/01/2019, 00:31

ciao gugo82,

dopo vari tentativi e ipotesi penso di essere giunto ad una conclusione:

esercizio 1: $ (f(b)-f(a))/(b-a)<=4 $

ci sono due possibili intervalli [a,b]= [0,2]o [0,3]

$ (f(9)-f(-3))/(2-0)<=4 $
$ 12/2<=4 $
$ 4<=4 $ la soluzione è quindi la numero 2 $ f(3)<=9 $


Grazie :smt023
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