Esercizio Teorema di Stokes

Salve, avrei dei dubbi sul seguente problema:

Sia $ S $ la superficie regolare data da:
$ S = {(x, y, z) in RR^3 :z = 1- x^2 - y^2 }$
e sia invece $R$ la regione regolare:
$ R = {(x, y, z) in S : x>=0, y<=0, x^2+y^2 <=1 } $
Orientiamo $S$ in modo tale che il versore normale in $(0, 0, 1)$ sia $(0,0,1)$ stesso.
Sia infine $ \omega = y^2dx + (x-y)dz $, calcolare l'integrale su $R$ di $d\omega$ con il Teorema di Stokes.

Io penso (e spero) di sapere come si facciano questa tipologia di esercizi, tuttavia non mi è chiaro in questo caso come dovrei parametrizzare il bordo della regione $R$ poiché non è, come di solito succede, semplicemente una circonferenza o qualcosa di facile.
L'unica idea che mi è venuta, ma non so se sia giusta, è quella di calcolare l'integrale sulla regione $ R1 = {(x, y, z) in S : x^2+y^2 <=1 } $ il cui bordo è la circonferenza di raggio 1 altezza $z = 0$ e poi dividere il risultato per 4.
Può avere un senso?

Fai un disegno.
Il bordo di $R$ è fatto da tre curve concatenate: il quarto di circonferenza unitaria che cade nel quarto quadrante del piano $z=0$; il tratto di parabola di equazione $z=1-x^2$ nel semipiano $y=0, x>=0, z>=0$; il tratto di parabola di equazione $z=1-y^2$ nel semipiano $x=0, y<=0,z>=0$.
Il tutto va orientato in modo compatibile con l’orientamento di $S$ e di $R$.