Successioni ricorsive (Definite per ricorrenza)

Ciao a tutti,

Sono uno studente al primo anno di ingegneria. Vi scrivo perché non riesco a risolvere esercizi con successioni definite per ricorrenza.
A livello teorico, mi è chiaro l'argomento.
Viene fornito un valore iniziale ed una "legge" per calcolare i valori successivi ad esso.
Tuttavia, nell'affrontare gli esercizi in cui viene chiesto di calcolare il limite per $n$ che tende a infinito, non so da dove iniziare.
Quali sono, a parere vostro, gli step da seguire, i procedimenti da utilizzare per risolvere tali esercizi?

Fornisco un esempio:
"Sia $ a(0) $ appartenente a $ ( 0 , π ) $ .
Si consideri la successione definita per ricorrenza da : $ a(n+1) = a(n) + sin (a(n)) $ .
$ n = 0,1,2, .... $
Qual è il limite di $a(n)$ per $n$ che tende ad infinito?"

In questo caso noto inoltre che non viene fornito neanche il valore iniziale, bensì viene espresso solo l'intervallo nel quale si trova.
Non riesco a districarmi in tale argomento, i libri di testo stessi mi sembrano sbrigativi nella spiegazione. Sarò io troppo duro di comprendonio .


Grazie in anticipo!!!

In questo tipo di esercizi conviene prima cercare di individuare i valori che possono essere il limite della successione, per farlo si passa al limite da entrambe le parti nella relazione che definisce il termine generico, e si ottiene….(continua tu)
Nel tuo esempio specifico i "candidati" valori limite sono...

In questo tipo di esercizi conviene prima cercare di individuare i valori che possono essere il limite della successione, per farlo si passa al limite da entrambe le parti nella relazione che definisce il termine generico, e si ottiene….(continua tu)
Nel tuo esempio specifico i "candidati" valori limite sono...

Scusami, proprio non capisco cosa intendi con "si passa al limite da entrambe le parti nella relazione che definisce il termine generico".

Beh, in effetti non l'ho proprio spiegato benissimo, ora rimedio: bisogna supporre che la successione abbia limite $l$ finito. Ora si passa al limite nella relazione $a_(n+1)=f(a_n)$ dove $f$ è una funzione che assumiamo essere continua, che ci garantisce che $l=f(l)$. Quindi $l$ deve essere un punto fisso di $f$. Poi bisogna controllare i limiti $+-\infty$, ovvero si assume che il limite sia $+\infty$ e si controlla se $+\infty=\lim_{n\to+\infty}a_(n+1)=lim_{x\to\+infty}f(x)[=f(+\infty)]$. La cosa scritta nelle parentesi quadre è una cosa non rigorosa ma mostra un'analogia col caso precedente, nel senso che è COME SE $+\infty$ fosse un punto fisso di $f$ (chiamiamolo punto fisso esteso). La stessa cosa si fa con $-\infty$.
Adesso possiamo dire che SE la successione ha limite, allora il limite deve essere un punto fisso di $f$ (anche esteso).
Ora sai che possibilità ci sono per il limite, ma devi mostrare che esiste (o che non esiste, dipende) ad esempio facendo vedere che la successione è monotona. Potresti far vedere che è limitata per escludere che il limite sia $+-\infty$, potrebbe essere comodo lavorare con delle sottosuccessioni (tipicamente $a_(2n)$ e $a_(2n+1)$) par far vedere che il limite esiste (o non esiste), insomma un po' ti devi arrangiare.
Perché non provi a svolgere l'esempio che hai postato?

Beh, in effetti non l'ho proprio spiegato benissimo, ora rimedio: bisogna supporre che la successione abbia limite $l$ finito. Ora si passa al limite nella relazione $a_(n+1)=f(a_n)$ dove $f$ è una funzione che assumiamo essere continua, che ci garantisce che $l=f(l)$. Quindi $l$ deve essere un punto fisso di $f$. Poi bisogna controllare i limiti $+-\infty$, ovvero si assume che il limite sia $+\infty$ e si controlla se $+\infty=\lim_{n\to+\infty}a_(n+1)=lim_{x\to\+infty}f(x)[=f(+\infty)]$. La cosa scritta nelle parentesi quadre è una cosa non rigorosa ma mostra un'analogia col caso precedente, nel senso che è COME SE $+\infty$ fosse un punto fisso di $f$ (chiamiamolo punto fisso esteso). La stessa cosa si fa con $-\infty$.
Adesso possiamo dire che SE la successione ha limite, allora il limite deve essere un punto fisso di $f$ (anche esteso).
Ora sai che possibilità ci sono per il limite, ma devi mostrare che esiste (o che non esiste, dipende) ad esempio facendo vedere che la successione è monotona. Potresti far vedere che è limitata per escludere che il limite sia $+-\infty$, potrebbe essere comodo lavorare con delle sottosuccessioni (tipicamente $a_(2n)$ e $a_(2n+1)$) par far vedere che il limite esiste (o non esiste), insomma un po' ti devi arrangiare.
Perché non provi a svolgere l'esempio che hai postato?

Grazie mille!!!

Beh, in effetti non l'ho proprio spiegato benissimo, ora rimedio: bisogna supporre che la successione abbia limite $l$ finito. Ora si passa al limite nella relazione $a_(n+1)=f(a_n)$ dove $f$ è una funzione che assumiamo essere continua, che ci garantisce che $l=f(l)$. Quindi $l$ deve essere un punto fisso di $f$. Poi bisogna controllare i limiti $+-\infty$, ovvero si assume che il limite sia $+\infty$ e si controlla se $+\infty=\lim_{n\to+\infty}a_(n+1)=lim_{x\to\+infty}f(x)[=f(+\infty)]$. La cosa scritta nelle parentesi quadre è una cosa non rigorosa ma mostra un'analogia col caso precedente, nel senso che è COME SE $+\infty$ fosse un punto fisso di $f$ (chiamiamolo punto fisso esteso). La stessa cosa si fa con $-\infty$.
Adesso possiamo dire che SE la successione ha limite, allora il limite deve essere un punto fisso di $f$ (anche esteso).
Ora sai che possibilità ci sono per il limite, ma devi mostrare che esiste (o che non esiste, dipende) ad esempio facendo vedere che la successione è monotona. Potresti far vedere che è limitata per escludere che il limite sia $+-\infty$, potrebbe essere comodo lavorare con delle sottosuccessioni (tipicamente $a_(2n)$ e $a_(2n+1)$) par far vedere che il limite esiste (o non esiste), insomma un po' ti devi arrangiare.
Perché non provi a svolgere l'esempio che hai postato?

Se $lim$ di $a(n)$ per n che tende ad infinito è uguale a $l$, sicuramente $a(n+1)$ ha lo stesso limite.
Da qui $l = l + sin (l) $
$ sin(l) = 0 $
I due candidati ad essere il limite saranno 0 e Pi greco.
So che il primo termine è compreso fra 0 e Pi greco... Se avessi saputo il valore preciso del primo termine, avrei calcolato il secondo ed il terzo per avere una prima idea di tipo di monotonia. Dopodichè avrei dimostrato per induzione la monotonia della successione, così da stabilire poi quale fosse il candidato corretto tra 0 e Pi greco.
Il fatto di non sapere con esattezza il primo termine mi porta un pò fuori strada. Mi ci scervello un altro pò e vedo di arrivarci.

Innanzitutto, hai una stima sul primo termine, i.e. $a(0) = alpha in (0,pi)$ o $0<a(0)<pi$.
Puoi trasformarla (usando induzione) in una stima sul termine $n$-esimo? Cioè, puoi dimostrare che $0<a(n)<pi$ per ogni $n$?
Puoi migliorare le stime?
Sfruttando le stime, puoi mostrare che $a(0) < a(1)$ o viceversa $a(0) > a(1)$? Puoi usare l’induzione per dimostrare che $a(n+1) < a(n)$ o viceversa $a(n+1) > a(n)$? Se no, puoi studiare per induzione la monotonia delle sottosuccessioni di posto pari o dispari?

Mi viene che per n moooolto grandi $ a(n+1)~ ((1+sqrt(5))/2)^(n+1)1/sqrt(5)(alpha+(sqrt(5)-1)/2sin(alpha)) $
dove $alpha=a(0) in (0,pi)$
Quindi convergerebbe solo se $alpha+(sqrt(5)-1)/2sin(alpha)=0$ ma accade solo per $alpha=0$ perchè la somma è sempre positiva.

$ sin(l) = 0 $
I due candidati ad essere il limite saranno 0 e Pi greco.

Attento, non ci sono mica solo quelli! Pensaci meglio e ti consiglio di riflettere a fondo sulla domande che ti ha fatto Gugo, che ti portano sulla strada giusta.

Innanzitutto, hai una stima sul primo termine, i.e. $a(0) = alpha in (0,pi)$ o $0<a(0)<pi$.
Puoi trasformarla (usando induzione) in una stima sul termine $n$-esimo? Cioè, puoi dimostrare che $0<a(n)<pi$ per ogni $n$?
Puoi migliorare le stime?
Sfruttando le stime, puoi mostrare che $a(0) < a(1)$ o viceversa $a(0) > a(1)$? Puoi usare l’induzione per dimostrare che $a(n+1) < a(n)$ o viceversa $a(n+1) > a(n)$? Se no, puoi studiare per induzione la monotonia delle sottosuccessioni di posto pari o dispari?

Provo a seguire i tuoi consigli!