Aiuto con integrale

$ int_(3)^(4) (x)/((x-2)(x^2+1)) dx $


ho provato a fare così

$ (x)/((x-2)(x^2+2))=(A)/(x-2)+(Bx+c)/(x^2+1 $


$ (A(x^2+1)+(Bx+C)(x-2))/((x-2)(x^2+1) $

$ (Ax^2+A+Bx^2-2Bx+Cx-2C)/((x-2)(x^2+1) $

$ ((A+B)x^2+(C-2B)x+A-2C)/((x-2)(x^2+1) $

Ma non so se sto facendo bene o errando il tutto

Ciao lolopo,

Stai facendo bene, alla fine dovresti trovare $A = - B = 2/5 $ e $C = 1/5 $

Nell ottenere A e B mi confondo . Perchè il sistema lo imposto cosi . e non mi trovo

$ { ( A+B=0 ),( C-2B=1),( A-2C=0 ):} $

Nell'ottenere A e B mi confondo

Cos'è che ti confonde? Dalla prima trovi proprio $A = - B $, lo sostituisci nell'ultima e trovi $B = - 2C $ che sostituita nella seconda porge $5 C = 1 \implies C = 1/5 \implies B = - 2/5 \implies A = 2/5 $

Intanto grazie mille per l aiuto che mi stai dando

Si ora mi trovo fin qui

poi continuerei cosi

$ int_(3)^(4) 1/5*(x)/(x-2)dx +int_(3)^(4) -2/5*(x^2)/(x^2-1) dx +int_(3)^(4) 1/5-(x)/(x^2*1) dx $

Ma forse stavolta ho sbagliato sicuramente

Intanto grazie mille per l'aiuto che mi stai dando

Prego!

Ma forse stavolta ho sbagliato sicuramente

Ma forse... Sicuramente...
Come dice un mio amico ci devi credere: se non ci credi tu non ci credo neanch'io...
Ma scusa, se hai detto che si ha

$ x/((x-2)(x^2+1))=A/(x-2)+(Bx+C)/(x^2+1)$

e hai trovato che $A = - B = 2/5 $ e $C = 1/5 $, basta sostituire i valori trovati e si ha:

$ \int_{3}^{4} x/((x-2)(x^2+1)) \text{d}x = 2/5 \int_{3}^{4} 1/(x-2) \text{d}x - 1/5 \int_{3}^{4} (2x - 1)/(x^2+1) \text{d}x = $
$ = 2/5 \int_{3}^{4} 1/(x-2) \text{d}x - 1/5 \int_{3}^{4} (2x)/(x^2+1) \text{d}x + 1/5 \int_{3}^{4} 1/(x^2 + 1) \text{d}x $

Ora riesci a proseguire?

Sinceramente non ho capito perchè da
$ +(Bx+C)/(x^2+1 $

sostituendo i valori esca

$ -1/5int_(4)^(3) (2x-1)/(x^2+1) dx $

Scusami se non sono esperto , ma le sto apprendendo pian piano queste cose

Guarda cosa valgono $B$ e $C$ già trovati e dovresti renderti conto che, raccogliendo $-1/5 $, risulta proprio ciò che ho scritto nel post precedente (che è diverso da ciò che hai scritto nel tuo ultimo post perché hai invertito gli estremi di integrazione).

ok si si ora ho capito grazie

poi la proseguirei cosi

$ 2/5log | x-2| -1/5log | X^2-2| +1/5arctan x $

sempre come indefinito

No, il risultato dell'integrale indefinito relativo a quello definito proposto è il seguente:

$ \int x/((x-2)(x^2+1)) \text{d}x = 2/5ln|x-2| -1/5 ln(x^2 + 1) +1/5 arctan x + c $