studio di funzione

Buonasera devo studiare questa funzione
arcsen(x^2+abs(x)), abs=valore assoluto.
Campo di esistenza $(1-rad5)/2,(1+rad5)/2$ ho calcolato massimi e minimi, (minimo in zero. e massimi agli estrmi del campo. Per la concavità devo calcolare la derivata seconda ma è molto complicata, ho provato afare il limite destro e sinistro della derivata prima per vedere se in zero c'è una cuspide o un punto angoloso ma i tali limiti intuitivamente mi vengono -1 e 1, ma non riesco a dimostrarlo.
Grazie
Scusate non sono sempre riuscita a scrivere in maniera corretta

Il dominio della funzione $f(x)=\arcsin(x^2+|x|)$ è sbagliato, però penso che sia un semplice typo. In teoria il dominio è $\mbox{dom}(f)=\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$ e si ottiene risolvendo la doppia disequazione $-1\le x^2+|x|\le 1$ (Facile).

Osserva che $f(x)$ è una funzione pari, di conseguenza il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, di conseguenza puoi concentrare lo studio di funzione sull'intervallo $\left[0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$ sul quale l'espressione analitica di $f(x)$ diventa:

$$f(x)=\arcsin(x^2+x)$$

in questo modo lo studio si semplifica notevolmente. Lasciamo perdere questa sottigliezza, alla fine lo studio si può effettuare anche con l'espressione originale.

Per quanto concerne il limite destro e il limite sinistro non si capisce quale sia il tuo problema. Perché non riesci a risolvere i due limiti? Puoi riportare i passaggi, per favore?

Mmmm...la sezione aurea

Ciao conrad15,

Facendo buon uso del suggerimento di Mathita, si tratta di trovare la derivata seconda di $f(x) = arcsin(x^2 + x) $, che non mi pare mostruosa:

$f''(x) = (x(x + 1) [2 x (x + 1) + 1] + 2)/[1 - (x + x^2)^2]^{3/2} $

Oserei aggiungere che tale derivata seconda è sempre positiva per $x \in [0, \frac{\sqrt{5}-1}{2}) $

Grazie a tutti