Derivata di una funzione integrale

Salve, sto studiando fondamenti di sistemi dinamici, ad un certo punto viene utilizzata la formula di Lagrange, con una dimostrazione a posteriori che sfrutta questa uguaglianza

$ d/dt(int_(a(t))^(b(t)) f( t, tau ) d tau ) = f( t, b(t) )(db(t))/dt - f( t, a(t) )(da(t))/dt + (int_(a(t))^(b(t))d/dt f( t, tau ) d tau ) $

beh non riesco a dimostrarla: utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale riesco a dimostrare solo i primi due termini del 2 membro, il terzo non riesco a capire da dove provenga. grazie

Abbiamo parlato di una cosa simile proprio di recente;

viewtopic.php?p=8409941#p8409941

Il che mi porta a chiedere: ma perché non si riconosce una funzione composta quando la si vede? Perché non la si riesce a derivare come il signore comanda?

La funzione integrale in esame $Phi(t)$ è composta dalla funzione di tre variabili $F(a,b,t) := int_a^b f(x,t) text(d) x$ e dalla funzione vettoriale di una variabile $phi(t) := (a(t), b(t), t)$, cioè risulta $Phi(t) = F(phi(t))$.
Il Teorema di Derivazione della Funzione composta implica che $Phi^\prime (t) = \nabla F(phi(t)) * phi^\prime (t)$ e questo è tutto.

Il Teorema di Derivazione della Funzione composta implica che $Phi^\prime (t) = \nabla F(phi(t)) * phi^\prime (t)$ e questo è tutto.

quindi mi trovo:
$ = (-f(t,a(t)), f(t,b(t)), ? )*( (da(t)) /dt, (db(t)) /dt, 1 ) = $

il ' ? ' dovrebbe essere
$ int_(a(t))^(b(t)) d/dt f(t, tau)d tau $

ma onestamente non riesco a fare i calcoli opportuni per ottenere questo risultato


( Per risponderti, se tra due esami di matematica differenti intercorrono tanti altri esami che magari di matematica sfruttano solo, al massimo per esempio la serie di taylor, è facile perdere dimestichezza e dimenticarsi alcuni dettagli.
lungi da me aissare qualsiasi polemica )