Proprietà dell'estremo inferiore.

Buongiorno,

ho il seguente dubbio, che sarà una sciocchezza, ma vorroei chiarirlo.
Se ho due insieme tali che $A subset B$, entrambi non vuoti e limitati inferiormente, posto $m, M$ estremo inferiore di $B$ estremo inferiore di $A$, rispettivamente, allora si ha che $m le M$.

Ricordo la defizione di estremo inferiore; sia $X subset mathbb{R}$ ed $m in mathbb{R}$. Si che $m$ è l'estremo inferiore di $X$ se:
1) $forall x in X : \ m le x$
2) $forall epsilon > 0 \ exists x in X : \ x<m+epsilon$

La prima è chiara, invece per la seconda dovrei verificare:
$b<(m+e) le a<(M+e)$
la coppia prima-seconda è valida, la coppia terza-quarta è valida, occorre verificare solo la coppia seconda-terza, cioè, $m+epsilon le a $

Procedo bene cosi ?

Ciao. Procedi per assurdo.

Quella che dai non è la definizione di estremo inferiore.
La definizione è:

Sia $X subseteq RR$ non vuoto.
Se $X$ non è limitato inferiormente, si pone per definizione $text(inf) X = -oo$.
Se $X$ è limitato inferiormente, l’estremo inferiore di $X$ è il massimo dei minoranti di $X$.

Quella che dai non è la definizione di estremo inferiore.
La definizione è:

Sia $X subseteq RR$ non vuoto.
Se $X$ non è limitato inferiormente, si pone per definizione $text(inf) X = -oo$.
Se $X$ è limitato inferiormente, l’estremo inferiore di $X$ è il massimo dei minoranti di $X$.

gugo 82, hai ragione, mi sono dimenticato di specificare che $A,B$ sono limitati inferiormente.
Riporto la definizione di estremo inferiore di un insieme, cioè,
sia $X subseteq mathbb{R}$ tale che sia, diverso dall'insieme vuoto e limitato inferiormente, quindi:
\(\displaystyle s=\mbox{inf(X)} \leftrightarrow \begin{cases} s \le x \qquad \forall x \in X \\ \forall \epsilon > 0 \qquad \exists x \in X\ : \ x<s+\epsilon \end{cases} \)
con $s in mathbb{R}$.
Per non creare confusione posto di nuovo i dati:

$A subset B to m=\mbox{inf(B)} le \mbox{inf(A)}=M$

potrei applicare stesso la definizione suddetta, in quando posso supporre che $M in B$, inoltre, sempre dalla definizione di estremo inferiore, in particolare dalla prima si ha $m le M$.

Non se è corretta come cosa, se ci manca qualcosa, ditemi voi se va bene

Ciao