Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
26/04/2019, 14:08
Salve a tutti, il mio problema è di verificare che la :
$y(t) = 2t^2 + t -2 + cos(sqrt (2t))$ è soluzione della seguente equazione $y’’ + 2y = 4t^2 +2t$.
potete aiutarmi garzie
26/04/2019, 14:17
Come faresti?
Che vuol dire “$y(t)$ è soluzione della EDO tal dei tali”?
P.S.: Credo che l’argomento del coseno sia $sqrt(2)\ t$ e non $sqrt(2t)$ come hai scritto, vero?
Nel caso, correggi il testo, per favore.
26/04/2019, 14:27
Ciao zaro90,
Benvenuto sul forum!
Ti faccio cortesemente notare che quella che hai scritto
non è un'equazione differenziale:
zaro90 ha scritto:[...] è soluzione della seguente equazione $y+2y=4t^2+2t $
Manca qualche derivata da qualche parte, se no diventa difficile aiutarti...
26/04/2019, 14:31
Scusa ma c'è un errore nella scrittura dell'equazione.
l'equazione è y"+2y=4t^2 + 2t (cioè derivata seconda di y + 2 y =4t al quadrato + 2t)
L'aromento del coseno è effettivamente sqrt(2t) (la t è compresa nella radice)
26/04/2019, 14:35
Moderatore: gugo82
@zaro90: Non hai nulla di cui scusarti.
@pilloeffe:
pilloeffe ha scritto:Ti faccio cortesemente notare che quella che hai scritto
non è un'equazione differenziale:
zaro90 ha scritto:[...] è soluzione della seguente equazione $y+2y=4t^2+2t $
Manca qualche derivata da qualche parte, se no diventa difficile aiutarti...
È un errore del parser, che non leggeva bene gli apici.
Lasciamo i moderatori lavorare?
Grazie.
@zaro90: No, c’è un errore di stampa allora. Il $t$
deve stare fuori dalla radice, se il testo dell’esercizio è riportato correttamente.
Altrimenti, sei sicuro che l’esercizio non chieda di verificare “se” la funzione $y(t)$ è una soluzione?
26/04/2019, 14:43
Hai ragione. Stupido io che ci sto perdendo la testa da giorni.
Effettivamente la t è fuori dall radice.
Comunque potresti spiegami come si verifica ?
Ti racconto il contesto. Io avevo calcolato la soluzione come y(t)= 2t^2 + t -2 , ma il prof mi ha detto che era esatta ma non era l'unica soluzione e mi ha prposto quella indicata. Solo che non ne venivo fuori.
26/04/2019, 14:48
Definizione: che cos’è una soluzione di una EDO?
26/04/2019, 14:56
Non capisco bene la domanda.
ma da quanto so se derivo due volte la soluzione e poi sostituisco i valori ottenuti nellequazione differenziale dovrei ottenere un eguaglianza.
Questo si ottiene facilmente con la soluzione y(t) =2t^2 + t -2 di cui la derivata seconda è = 4 e quindi sostituendo nell equazione si ha 4+4t^2+2t-4=4t^2+2t e si verifica l'eguaglianza.
Non rieco a fare lo stesso con la soluzione prpostami dal prof.
26/04/2019, 15:08
zaro90 ha scritto:Non capisco bene la domanda.
ma da quanto so se derivo due volte la soluzione e poi sostituisco i valori ottenuti nellequazione differenziale dovrei ottenere un eguaglianza.
Giusto il principio, ma devi sapere che questo viene fuori dalla
definizione di soluzione.
Una funzione $bar(y) : I -> RR$ definita nell’intervallo aperto non vuoto $I subseteq RR$ è una soluzione dell’equazione differenziale $y^{\prime \prime}(t) + 2 y(t) = f(t)$ (o, nel caso generale, $L[y(t)] = f(t)$ con $L$ operatore differenziale del secondo ordine) nell’intervallo $I$ se e solo se risulta:
\[
\bar{y}^{\prime \prime} (t) + 2 \bar{y}(t) = f(t)\qquad \text{(o, in generale, } L[\bar{y}(t)] = f(t)\text{)}
\]
per ogni $t in I$.
zaro90 ha scritto:Questo si ottiene facilmente con la soluzione y(t) =2t^2 + t -2 di cui la derivata seconda è = 4 e quindi sostituendo nell equazione si ha 4+4t^2+2t-4=4t^2+2t e si verifica l'eguaglianza.
Non rieco a fare lo stesso con la soluzione prpostami dal prof.
Perché non riesci a fare lo stesso?
Chi te lo impedisce?
26/04/2019, 15:17
Seguendo lo stesso ragionamento viene :
4t^2 +2t -cos (sqrt(2)t) -4 = 4t^2 + 2t
vedo che i temini in t si equivalgono ma non riesco a capire com gestire la parte termine noto . Cioè non deve essere cosiderato nel ragionamento ?
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