Teoria analisi 1,2 per orale

La 2) è proprio la definizione di punto di max/min, ma scritta un po' malamente; che significa \(\forall U\)? Non andare nel pallone, fermati quando non ce la fai più, hai già fatto un sacco di cose.

Ho ripreso solo la notazione che hai usato tu. In realtà il docente ha scritto (cito):
Condizione sufficiente: $\grad f(\bar(x_0))=0$, e la forma quadratica associata alla matrice hessiana $Hf(\bar(x_0))$ è definita positiva/definita negativa se $\bar(x)^T Hf(\bar(x_0)) \bar(x) >0$ / $\bar(x)^T Hf(\bar(x_0)) \bar(x) <0$. Ne segue che $\bar(x_0)$ è punto di minimo locale stretto se $\forall B(\bar(x_0)) sub X$ intorno del punto si ha $f(\bar(x))>f(\bar(x_0))$. Analogamente, massimo locale stretto se $\forall B(\bar(x_0)) sub X$ intorno del punto si ha $f(\bar(x))<f(\bar(x_0))$.

Dico… Credi sia sufficiente dire che

un punto \( x_0 \) è un massimo locale per la funzione \( f \) se esiste un intorno \( U \) di \( x_0 \) tale che \[ f(x)\le f(x_0), \qquad \forall x\in U. \]

? Tralasciando necessaria, sufficiente…

Non andare nel pallone, fermati quando non ce la fai più, hai già fatto un sacco di cose.

Sto tirando avanti tra caffè e sigarette

Stai confondendo la definizione di massimo locale con le condizioni necessarie e sufficienti. La definizione è quella che ho dato io, punto, e quella è la cosa più importante da sapere. Solo DOPO, una volta fissata quella, puoi parlare di condizioni necessarie e condizioni sufficienti.

Ragazzi, ho ancora un giorno di tempo: il docente ha mandato una mail ieri sera dicendo che causa verbalizzazioni non riusciva ad essere disponibile all'orario previsto per oggi. Tutto rimandato a domani, quindi. Ho allora dedicato la mattinata per studiarmi bene le definizioni, ma vorrei rivedermi qualcosa nel pomeriggio dato che ho tempo. Il problema è che non so cosa… Parlando con un collega mi ha detto che ad es. ha chiesto ad un tizio il sottospazio "fondamentale" ($RR^2$ ??) e di scrivere un vettore ortogonale qualsiasi ad un vettore $v \in Ker[f]$ (al quale né io né lui avremmo saputo rispondere). Insomma, un vero e proprio salto nel buio. Avete quindi qualche consiglio su cosa poter ripassare? Magari domande da pormi che ritenete potrebbero essere chieste?

Per trovare un vettore ortogonale ad un altro basta prendere un qualsiasi vettore \(w\) che non sia parallelo a \(v\) e calcolare \(w' = w - \frac{\langle w, v\rangle}{\langle v, v\rangle} v\). Nota che io segno il prodotto scalare con \(\langle\bullet,\bullet\rangle\), tu potresti usare una notazione differente. Se non ti è chiaro di suggerisco di provare a dimostrarlo (basta usare le proprietà del prodotto scalare).

Per esempio, considera il vettore \(v = ( 1, 1, 1 )\) e il vettore \(w = (1,0,1)\). Allora \(w' = (1,0,1) - \frac{( 1 + 0 + 1 )}{3}(1,1,1) = \frac{(1,-2,1)}{3}\) è ortogonale a \(v\).

Nel tuo caso sceglierei un \(w\notin \ker f\).

Invece la definizione di sottospazio fondamentale mi sfugge .

EDIT: avevo scritto la formula per \(v\) normalizzati. Ora è corretta. Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonal ... am-Schmidt

So che l'algoritmo di GS restituisce vettori ortogonali ma mi avrebbe sicuramente in confusione quell'appartenenza al nucleo… Comunque grazie vict!

Non ti angustiare. Agitarsi per le domande fatte agli altri, il giorno prima dell'esame, è un ottimo sistema per riempirsi di ansia. Il collega, inoltre, chissà cosa ha capito...

Confida nella tua intelligenza. Smetti di ripassare. Prenditi qualche ora libera, fai una passeggiata, un po' di sport, vatti a bere una bella birra.

Ragazzi, scrivo questo post solo per ringraziarvi. L'esame è andato più che bene, e molto del risultato (inutile negarlo) è merito vostro. Sempre disponibili ed estremamente competenti. Grazie davvero a tutti, nessuno escluso

l'esame è andato più che bene

Non mi sorprende. Complimenti! Passa un buon fine settimana, mi raccomando.

l'esame è andato più che bene

Non mi sorprende. Complimenti! Passa un buon fine settimana, mi raccomando.

Grazie amico mio, anche tu!