Se $f(x) \leq g(x)$, allora $\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x)$

A occhio non serve una gran regolarità delle due funzioni per avere quel risultato. Insomma, sia \(\{x_i\}\) una successione tale che \(x_i\mapsto x_0\). Supponiamo inoltre che \(f\) e \(g\) siano definite per ogni punto della successione. Allora banalmente \(\limsup f(a_i) \le \limsup g(a_i)\) e \(\liminf f(a_i) \le \liminf g(a_i)\). Se i due limiti coincidono allora si ha il risultato.

Appoggio incondizionatamente questa risposta. Aggiungo che, nella pratica, questo teorema si usa spessissimo così. In questo modo si può applicare senza sapere a priori che il limite esiste.