Funzione non superiormente limitata

salvy, credo che tu abbia dei problemi con la dimostrazione per assurdo. Forse ti conviene guardare qui, per chiarirti un po' le idee.

Con la dimostrazione ci sono , non capisco cosa c'entra la successione e quell'indice n ...
Darò in ogni caso una lettura a ciò che mi hai linkato

Questa scrittura

$ AA $ $n$ $ in N $ $ EE $ $ (x_n) $ $in$ $ [a, b]$

non è altro che una (qualsiasi) funzione così fatta $f: NN -> [a,b]\ \ \ \ \ \ \ \ \ n\mapstox_n$ ovvero una funzione che ha come dominio $NN$ e come codominio l'intervallo $[a,b]$ ovvero è una successione (infinita) i cui valori sono compresi nell'intervallo $[a,b]$

Questa scrittura

$ AA $ $n$ $ in N $ $ EE $ $ (x_n) $ $in$ $ [a, b]$

non è altro che una (qualsiasi) funzione così fatta $f: NN -> [a,b]\ \ \ \ \ \ \ \ \ n\mapstox_n$ ovvero una funzione che ha come dominio $NN$ e come codominio l'intervallo $[a,b]$ ovvero è una successione (infinita) i cui valori sono compresi nell'intervallo $[a,b]$

perfetto,grazie mille

Se f non è superiormente limitata, allora $ AA n in NN, EE x_n in [a, b] : f(x_n) > n$.
Potreste spiegarmi cosa significa?

Significa che la funzione, non essendo superiormente limitata, non ammette maggioranti.

No, non significa questo.

La frase significa che “in corrispondenza di ogni numero naturale $n$ si può determinare (almeno) un elemento di $[a,b]$, denotato con $x_n$ per rendere esplicita la dipendenza da $n$, il quale gode della proprietà $f(x_n) > n$ (ossia, il quale è una soluzione della disequazione $f(x) > n$)”.

Chiarito che questo:

la funzione, non essendo superiormente limitata, non ammette maggioranti

scritto da te non è il significato della frase:

$ AA n in NN, EE x_n in [a, b] : f(x_n) > n$

cerchiamo di capire quale legame sussiste tra le due frasi.
Come già visto nel dispiegarsi del thread, le due proposizioni citate sono equivalenti, nel senso che il valere dell’una implica l’altra e viceversa.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dim.: Proviamo che \(\sup_{[a,b]} f = +\infty\) implica $ AA n in NN, EE x_n in [a, b] : f(x_n) > n$.
Per definizione, si ha \(\sup_{[a,b]} f = +\infty\) se e solo se $f$ non ha maggioranti in $[a,b]$, ossia se risulta $AA M in RR, EE x=x_M in [a,b] : f(x_M) > M$. Ma allora, prendendo $M = n in NN sub RR$ (cosa lecita, per la presenza del quantificatore universale $AA$), la precedente si particolarizza come $AA n in NN, EE x=x_n in [a,b]: f(x_n) > n$ che è quanto volevamo.

Proviamo che $ AA n in NN, EE x_n in [a, b] : f(x_n) > n$ implica \(\sup_{[a,b]} f = +\infty\).
Fissiamo arbitrariamente un $M in RR$. Per ovvi motivi, esiste (almeno) un numero $nu=nu_M in NN$ tale che $nu_M >= M$; e, per ipotesi, in corrispondenza del numero naturale $nu_M$ è possibile determinare $x=x_(nu_M)=x_M in [a,b]$ che gode della proprietà $f(x_M) > nu_M >= M$.
Data l’arbitrarietà nella scelta di $M$, il ragionamento appena fatto prova che $AA M in RR, EE x=x_M in [a,b]: f(x_M) >M$, cioè che \(\sup_{[a,b]} f = +\infty\).

Grazie mille