Serie numerica

Come si risolve questa serie?
Studiare al variare di x:
∑ per n che va da 1 a infinito di
$ 1/(ln(x)^(ln(n)) $

Ultima modifica di xemanuelex il 01/08/2019, 10:15, modificato 1 volta in totale.

Non mi pare un esercizio da scuola secondaria. Sposto in analisi.

Prova ad usare l'identità $a^{\ln b}=b^{\ln a}$, valida se $a,b>0$.

Ciao xemanuelex,

Benvenuto sul forum!

Se ho capito bene la serie proposta è la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(ln(x)^{ln(n)}) = \sum_{n = 1}^{+\infty} [1/ln(x)]^{ln(n)} $

Per prima cosa porrei $y := 1/ln(x) > 0 $ sicché la serie proposta diventa la seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} y^{ln(n)} $

Ora siccome $y > 0 $ porrei $ y := e^{-\alpha} $ di modo che si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} y^{ln(n)} = \sum_{n = 1}^{+\infty} e^{-\alpha ln(n)} = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{alpha} $

L'ultima scritta è la ben nota serie armonica generalizzata che converge se $\alpha > 1 $.
Dato che $ y := 1/ln(x) = e^{-\alpha} = 1/e^{\alpha}$ ne consegue che $ln(x) = e^{\alpha} \implies ln[ln(x)] = \alpha $ e quindi in definitiva la serie proposta converge per $ln[ln(x)] > 1 \iff x > e^e $