19/08/2019, 17:18
20/08/2019, 07:48
20/08/2019, 08:30
20/08/2019, 15:04
gugo82 ha scritto:Hai provato a parametrizzare in coordinate cilindriche?
pilloeffe ha scritto:In generale non è elementare calcolare la superficie di un ellissoide...
Nel caso in esame, trattandosi di un solido di rotazione attorno all'asse z è probabile che il tuo professore intenda proprio farti usare la formula di Pappo-Guldino.
20/08/2019, 21:31
20/08/2019, 23:04
Bokonon ha scritto:Ma il risultato è $8/3pi$?
21/08/2019, 11:08
donzo93 ha scritto:Come sei giunto a quel risultato?
21/08/2019, 15:52
Bokonon ha scritto: E' un ellissoide centrato nell'origine, quindi pefettamente simmetrico.
Se lo si taglia a fette, sono tutte circonferenze: per esempio per z=0 abbiamo una circonferenza di raggio 1.
Riscrivendo la funzione come $x^2+y^2=1-z^2/4=r^2$ abbiamo un raggio $r=sqrt(1-z^2/4)$
Sommando i perimetri delle circonferenze $2pir$ per $0<=z<=2$ abbiamo metà superficie.
Quindi la superficie totale è data da $4pi int_0^2sqrt(1-z^2/4)dz=2pi^2$
Bokonon ha scritto: Facendo i conti a mente e infatti ho sbagliato l'integrale
21/08/2019, 20:42
donzo93 ha scritto:Mi sembra sensato! Però non mi spiego come mai il risultato calcolato con l'integrale di superficie e quello calcolato così siano tanto differenti. Ho verificato i miei conti con wolfram ed è tutto giusto, del resto anche quello che hai fatto tu pare giusto... ma uno dei due è sbagliato per forza!
donzo93 ha scritto:Io se non li scrivo manco riesco a cominciarli gli integrali, anche quelli relativamente semplici...
22/08/2019, 22:24
Bokonon ha scritto:Anche solo ragionando qualitativamente, vediamo dove arriviamo.
L'area di una circonferenza di raggio 1 è $pi^2$
Ora immagina di prendere il piano $z=0$ (ovvero in piano XY in $R^3$) e di proiettarci sopra tutte le "fette"/circonferenze fra $0<=z<=2$. L'insieme delle proiezioni "riempe" la circonferenza di raggio 1 sul piano XY e quindi stiamo sostanzialmente calcolandone l'area.
Stessa cosa con le proiezioni $-2<=z<=0$. Quindi la superficie è pari a due volte l'area, ovvero $2pi^2$.
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