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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

12/09/2019, 16:35

Si consideri l'equazione complessa:

\(\displaystyle (a+jb)^{2019} = (a-jb) \)

Il mio ragionamento per risolverla è il seguente: per le potenze, soprattutto di grado elevato, è utile la rappresentazione in coordinate polari dei numeri complessi; quindi, ponendo:

\(\displaystyle a + jb = \rho e^{j\theta}\)
\(\displaystyle a - jb = \rho e^{-j\theta}\)

la mia equazione diventa:

\(\displaystyle \rho^{2019}e^{j2019\theta} = \rho e^{-j\theta} \)

Siccome due numeri complessi coincidono quando hanno stesso modulo e stesso argomento, scrivo il seguente sistema:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho^{2019} = \rho \\
2019\theta = -\theta
\end{matrix}\right.
\)

che risolvendo si ottiene:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho = 1 \\
\theta = 0
\end{matrix}\right.\)

ossia \(\displaystyle z = 1 \), che è effettivamente una soluzione dell'equazione.
Il problema è che non è l'unica: si vede subito come, ad esempio, \(\displaystyle z = 0 \) sia soluzione dell'equazione, o anche \(\displaystyle z = j \).
La mia domanda è appunto la seguente: supponendo che il mio ragionamento sia corretto, per quale motivo non "restituisce" anche le altre soluzioni, ma soltanto una di esse? Vi ringrazio.

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

12/09/2019, 18:01

Perché risolvi a casaccio le equazioni algebriche e trigonometriche che compaiono nel sistema.

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

12/09/2019, 18:27

L'alternativa che mi viene in mente è di considerare il sistema "esplicitato" in seni e coseni, eguagliando
le rispettive parti reali e parti immaginarie:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho^{2019}\cos(2019\theta) = \rho\cos(\theta)\\
\rho^{2019}\sin(2019\theta) = -\rho\sin(\theta)
\end{matrix}\right.\)

ma a questo punto, quali sono i passaggi algebrici per trovare \(\displaystyle \rho \) e \(\displaystyle \theta \)?


Per semplificare il sistema che si ottiene quando si sostituisce con le coordinate polari, ho
pensato di fare in questo modo alternativo: moltiplicando ambo i membri per \(\displaystyle (x+jy) \)
si ottiene la nuova equazione:

\(\displaystyle (x+jy)^{2020} = (x+jy)(x-jy) = x^{2} + y^{2}\)

dalla nota relazione che il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato è uguale al modulo
del numero al quadrato.

A questo punto, con l'usuale sostituzione in coordinate polari ottengo questo nuovo sistema:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho^{2020}\cos(2020\theta) = \rho^{2}\\
\rho^{2020}\sin(2020\theta) = 0
\end{matrix}\right.\)

Dalla seconda equazione ottengo la soluzione \(\displaystyle \rho = 0 \), \(\displaystyle \theta = \frac{k\pi}{2020}\), mentre semplificando la prima equazione ottengo:

\(\displaystyle \rho^{2018}\cos(2020\theta) = 1 \), ossia \(\displaystyle \rho^{2018} = \frac{1}{\cos(2020\theta)}\).

Sostituisco theta con la soluzione precedente, ottenendo \(\displaystyle \rho^{2018} = \frac{1}{(-1)^k}\),
uguaglianza che può essere vera soltanto per valori pari di k, trovando che \(\displaystyle \rho = 1 \).
In definitiva, le soluzioni dovrebbero essere le seguenti:

\(\displaystyle z = 0\)
\(\displaystyle z = [1, \frac{2k\pi}{2020}]\)

Può essere un ragionamento valido?

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

14/09/2019, 20:12

Non lo so, non ho letto quasi niente dell'ultimo post, troppo complicato. Ma nel primo post, la conclusione \(\rho=1\) andava bene. L'errore era su \(\theta\). Difatti, dall'equazione \(e^{i2019\theta}=e^{-i\theta}\) si ottiene subito
\[\tag{1}
e^{i2020\theta}=1.\]
Ora, questa è una equazione notevole; infatti,
\[\tag{2}
e^{i\phi}=1\quad \Leftrightarrow \quad \phi = 2k\pi,\ k\in\mathbb Z.\]
Si tratta di risolvere (1) usando (2). Nient'altro.

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

14/09/2019, 21:57

dissonance ha scritto:Ma nel primo post, la conclusione \(\rho=1\) andava bene.


Come ottengo la soluzione \(\displaystyle z = 0 \) nel primo post?

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

14/09/2019, 22:08

Risolvendo come si deve $rho^(2019) = rho$.

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

14/09/2019, 22:19

Grazie per le risposte.

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

17/09/2019, 08:54

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.

Re: Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari

17/09/2019, 09:57

dissonance ha scritto:Ma nel primo post, la conclusione \(\rho=1\) andava bene.

Uuh è vero, ho scordato che \(\rho^{2019}=\rho\) equivale a \(\rho=1\) oppure \(\rho=0\).
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