Ciao Matteoo94,
Matteoo94 ha scritto:A questo punto ricorrerei alla scrittura dei polinomi di Maclaurin fino ad un certo ordine.
In effetti basta il primo ordine:
$\sum_{k=1}^{+\infty} ln[(1+ 1/k^{\alpha})/(e^sin(1/k^2))] = \sum_{k=1}^{+\infty} ln(1+ 1/k^{\alpha}) - \sum_{k=1}^{+\infty} ln e^sin(1/k^2) = \sum_{k=1}^{+\infty} ln(1+ 1/k^{\alpha}) - \sum_{k=1}^{+\infty} sin(1/k^2) $
La seconda serie non dipende da $\alpha $ e si comporta come la serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} 1/k^2 $ che è la
serie armonica generalizzata con parametro $ p = 2 > 1 $, notoriamente convergente a $\pi^2/6 $; la prima serie invece dipende da $\alpha $ e può convergere solo se $\alpha > 0 $ (per $\alpha <= 0 $ non è soddisfatta la
condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{k \to +\infty} a_k(\alpha) = 0 $) ed in tal caso si comporta come la serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} 1/k^{\alpha} $ che è la
serie armonica generalizzata, notoriamente convergente se $\alpha > 1 $.
Si conclude che la serie proposta converge se $\alpha > 1 $.