13/11/2019, 09:54
13/11/2019, 11:19
13/11/2019, 20:35
gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
13/11/2019, 22:23
Sergio ha scritto:... Devi semplicemente trovare un \(\delta\) che valga per qualsiasi \(\epsilon>0\) ...
Sergio ha scritto:... Quindi \(1-\cos x<x^2/2\) comporta che \(1-\cos x<\epsilon=x^2/2\) se \(\lvert x\rvert<\sqrt{2\epsilon}\).
Quindi \(\delta=\sqrt{2\epsilon}\).
Tutto qui.
14/11/2019, 12:03
14/11/2019, 14:28
14/11/2019, 18:35
bmabs ha scritto:Vorrei ringraziarvi TANTO perle vostre risposte perché mi stanno accrescendo molto. Sono inoltreconteto che abbia anche sviluppato un discorso tra due persone che ne sanno molto più di me in materia e leggere eventuali risposte saràper me un paicere. Nell'attesa volevo rispondere un attimo @gugo:gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
La mia paura era che risolvendo quella disequazione potessi trovare un $S_(l,epsilon)$ più piccolo dell'insieme delle x dominio di f. Cioè che potessero esistere delle x del dominio che non stavano in $S_(l,epsilon)$.
In tal caso non avrei $<=>$, ma perché questa evenienza è esclusa?
---
Che stupido: dovrebbe essere perché parto da $|f(x) - l|$ e quindi automaticamente per ipotesi e dare senso al tutto f(x) è presanel suo dominio.
15/11/2019, 09:38
Sergio ha scritto:gugo, perdonami ma non ho mai visto niente di più complicato, e mi viene la tentazione di dire che non ho mai visto niente di più inutilmente complicato (fatta eccezione per un paio di dimostrazioni di Takayama). Sicuramente questo dipende dal fatto che di matematica ne ho vista moooooolto meno di te, e l'evento "mi sfugge qualcosa di sostanziale" è quasi-certo. Però fammi provare.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ok, $S_(l, epsilon)$ non è vuoto, ma per il resto "dove abita"?
Può essere $S_(l, epsilon) \setminus text(Dom)(f)\ne emptyset$? Mi pare difficile: a che pro avventurarsi fuori di $text(Dom)(f)$?
Ma allora $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non è altro che $x in S_(l,epsilon)$ e ovviamente $S_(l,epsilon) sube text(Dom)(f)$.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Ok. Ma se intendi $x in X$ per ogni $X sube S_(l,epsilon)$, questo vuol dire: per ogni $x\in S_(l,epsilon)$ esiste un $epsilon$ tale che $|f(x) - l| < epsilon$.
Sergio ha scritto:Ma cosa è $S_(l,epsilon)$? È un insieme tale che $|f(x) - l| < epsilon$ se e solo se $x\in S_(l,epsilon)$.
Se prescindiamo dai sottoinsiemi propri di $S_(l,epsilon)$ (a che servono? poi non li usi più) si rischia la tautologia. Voglio dire che non vedo l'utilità di quei sottoinsiemi propri, non vedo cosa aggiunga quel "ne viene che".
Sergio ha scritto:Veniamo piuttosto al concreto: cos'è mai questo $S_(l,epsilon)$?
È un sottoinsieme del dominio (voglio ben sperare!), proviamo a dargli un "faccia". Direi: $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|f(x) - l| < epsilon,epsilon>0\}$.
Questo vuol dire, in concreto, che si tratta di trovare i valori di $x$ per cui $|f(x) - l| < epsilon$ per un qualsiasi $epsilon$ strettamente positivo.
Sergio ha scritto:Tornando all'esempio: dato che $|cos x-1|<x^2/2$ per $x>0$, ponendo $epsilon=x^2/2$ ottieni $|x|=sqrt(2 epsilon)$.
Quindi, nel caso dell'esempio, $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|x|=sqrt(2 epsilon)\}$. Infatti: $|cos sqrt(2 epsilon) -1|<epsilon$.
Sembrava un oggetto così misterioso...
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l|<epsilon$, i.e. $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Mamma mia! Provo a tradurre.
Mi interessano i casi in cui $x$ tende (si avvicina) a $x_0$, mi interessa cioè un intorno di $x_0$. Non mi interessa quello che succede in $x_0$ (in cui $f$ potrebbe non essere definita, o presentare una discontinuità, e mi sembrerebbe utile precisarlo), quindi mi interessa un intorno forato di $x_0$, cioè un intervallo $(x_0-delta,x_0+delta)\setminus x_0$. Bene.
Sergio ha scritto:"Se riesci a isolare un opportuno interno forato ... hai certamente...". E che vuol dire "opportuno"?
Opportuno vuol dire: un $x in S_(l,epsilon)$ tale che $|x-x_0|<delta$ per un qualche $delta$.
Sergio ha scritto:Piccola aggiunta: deve trattarsi di un $delta$ dipendente da $epsilon$, in quanto anche $S_(l,epsilon)$ dipende da $epsilon$.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.
E così la faccenda di $S_(l,epsilon)$ si riduce a "risolvere la disequazione"
Sergio ha scritto:(ma quali sono i casi in cui, per funzioni $f:X sube RR to RR$, la faccenda non si riduce a risolvere una disequazione?).
Può non essere così elementare (non è proprio immediato che $|cos x-1|<x^2/2$), ma in fondo si tratta solo di risolvere una disequazione.
Cosa vuol dire "risolvere una disequazione"? In alcuni casi è semplice (link), in altri un po' meno (ad es. link). Pazienza.
Sergio ha scritto:Una volta trovate le soluzioni, si cerca "di isolare un intorno forato". Cioè?
Si cercano valori delle soluzioni che appartengano a un intorno (forato) di $x_0$. Si cercano cioè soluzioni $x$ tali che $0<|x-x_0|<delta_epsilon$ (inciso: è possibile la ricerca anche se non si è mai sentito parlare di "intorni forati"? per la mia piccolissima esperienza risponderei: ahimé, sì).
Sergio ha scritto:Qui c'è poco da fare, si deve andare caso per caso.
Nel caso dell'esempio, per valori "piccoli" di $|x-x_0|$ (per $x_0=0$ e $x in [-pi,pi]$), si ha che $|cos x-1|$ aumenta e diminuisce con $x$, quindi basta prendere $|x-x_0|=|x|<sqrt(2 epsilon)$: se $|x|<sqrt(2 epsilon)$, allora $|cos x-1|<epsilon$.
Insomma, in tanti anni è la prima volta che ti vedo... a cavallo di una tangente. Dove sbaglio?
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