Domanda META riguardo la definizione di limite

Premetto che sono uno studente di ingegneria, quindi forse mi sto facendo dei problemi che non dovrei farmi e magari sono i miei manuali che sono appositamente più scarni di altri e sicuramente non ho le basi di voi matematici.

Però mi sembra che nella maggior dei casi in cui viene data la definizione di limite una cosa non venga spiegata.

DEFINIZIONE DI LIMITE comune:
con $U_l=(l-\epsi,l+epsi),U_(x_0)^0=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ vale $lim_(x->x_0)f(x)=l$ se $forall\epsi>0,existsdelta>0:|x-x_0|<deltaimplies|f(x)-l|<epsi$

ma questa definizione (correggetemi se sbaglio) non ha nessun senso se non si dice che $delta$ dipende da $epsi$. Però anche quando si dice che $delta$ dipende da $epsi$ non viene spiegato come funzioni questa dipendenza. Come avviene dunque?

EDIT: si scusami, l'intorno deve essere bucato, l'ho corretto. Per quanto riguarda la convenzione dell'"esiste" non ne avevo mai sentito parlare, e sono molto sicuro del fatto che nel mio percorso scolastico non mi sia mai stato insegnato .

Ultima modifica di TroppiDubbi il 16/11/2019, 15:13, modificato 1 volta in totale.

In primis, la definizione che riporti è sbagliata: bisogna escludere $x_0$ per farla funzionare.

Per il resto, puoi leggere i miei post qui, ad esempio.


P.S.: È convenzione comune che le variabili quantificate con $EE$ dipendano da tutte le variabili fissate in precedenza: dunque nella definizione di limite $delta = delta_(epsilon, x_0, l)$.

Ho provato a leggere i tuoi post nella discussione che mi hai consigliato e continua a non essermi chiaro, se $delta$ deve essere dipendente da $epsi,x_0,l$ significa che delta è funzione di quelle tre variabili, ovvero $delta=f(epsi,x_0,l)$, e la mia domanda era (la provo a riformulare perché forse mi sono spiegato male) "che razza di funzione è questa $delta=f(epsi,x_0,l)$?"

Non è una dipendenza di tipo funzione, questo è ovvio.

Perché?

Scusa la mia immensa ignoranza ma sto brancolando nel buio, non sapevo nemmeno che esistessero dipendenze che non fossero di tipo funzione... Che altri tipi di dipendenze esistono? E come funzionano?

Cos’è una funzione?
Cosa può andare storto?
In questo caso, cosa va sicuramente storto?

Si tratta quindi di una relazione e non di una funzione siccome non si può garantire la funzionalità (ovvero che per ogni elemento del dominio (nel nostro caso l'intorno di $l$) esista al più un elemento del codominio (l'intorno di $x_0$))?

Sì, ma no.

Fissati $x_0$ ed $l$, il valore di $delta$ dipende solo da $epsilon$.
La dipendenza non è di tipo funzione (i.e., “1 ad 1”) ma una relazione del tipo “1 a molti”: infatti, se $bar(delta) >0$ è un valore tale che $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x-x_0|<bar(delta) => |f(x) - l|<epsilon$, allora ogni numero $0<delta <bar(delta)$ gode della proprietà $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x-x_0|<delta => |f(x) - l| <epsilon$.

Questo, però, ti dice che l’insieme dei $delta>0$ che verificano la proprietà di limite è un intervallo di estremo inferiore $0$ e, perciò, ha senso considerare l’estremo superiore $Delta$ di tale intervallo.
Si verifica facilmente che l’unico caso in cui $Delta = +oo$ è quello in cui $f$ è costante intorno ad $x_0$; in tutti gli altri casi risulta $Delta < +oo$ e si dimostra che $Delta$ è un massimo.
Dunque, non appena $f$ non è costante intorno ad $x_0$, la relazione definita ponendo $epsilon to Delta$ è una funzione (poiché il massimo di un insieme è unico).

Quando si prova che una relazione di limite mediante la definizione e la disequazione $|f(x) - l|<epsilon$ è risolubile elementarmente, di solito si riesce a determinare proprio il valore $Delta$ “più grande possibile” per il quale vale l’implicazione $0<|x-x_0|<Delta => |f(x) - l|<epsilon$; quindi è “naturale” che la dipendenza $delta_epsilon$ sembri una funzione nei casi elementari.

Leggerò più e più volte questa risposta per cercare di capirla meglio, però mi sorge spontanea un'osservazione. La definizione di limite come l'ho scritta nel primo messaggio non è insufficiente nel descrivere l'intorno di $x_0$ pur considerando $delta$ "dipendente da" $epsi$? Nel senso che "dipendente da" può voler dire qualsiasi cosa. Non so se riesco a spiegarmi, ma mi sembra che la definizione così sia troppo poco vincolante, che dicendo solo "$delta$ dipendente da $epsi$" posso comunque creare un intorno di $x_0$ gigantesco (rispetto a quello di $l$) in cui sicuramente ci sarà una $x$ per cui vale $|f(x)-l|<epsi$.

Insomma io sono abituato a lavorare con delle funzioni che esplicitamente ti danno le istruzioni su come far valere le dipendenze tra variabili, qui invece di istruzioni non ce ne sono...

Leggerò più e più volte questa risposta per cercare di capirla meglio, però mi sorge spontanea un'osservazione. La definizione di limite come l'ho scritta nel primo messaggio non è insufficiente nel descrivere l'intorno di $x_0$ pur considerando $delta$ "dipendente da" $epsi$? Nel senso che "dipendente da" può voler dire qualsiasi cosa. Non so se riesco a spiegarmi, ma mi sembra che la definizione così sia troppo poco vincolante, che dicendo solo "$delta$ dipendente da $epsi$" posso comunque creare un intorno di $x_0$ gigantesco (rispetto a quello di $l$) in cui sicuramente ci sarà una $x$ per cui vale $|f(x)-l|<epsi$.

Non vedo come avere meno vincoli e, quindi, più libertà di scelta possa risultare un problema.
No, davvero, mi sfugge.

E comunque, sì, esistono casi in cui tutti gli intorni possibili di un punto possono essere usati per soddisfare la definizione.
Dimostra, usando la definizione, che $lim_(x -> 0) 1 = 1$.

Insomma io sono abituato a lavorare con delle funzioni che esplicitamente ti danno le istruzioni su come far valere le dipendenze tra variabili, qui invece di istruzioni non ce ne sono...

Beh, ma questa è la normalità… Una dipendenza di tipo funzione è solo una parte $f$ del prodotto cartesiano di due insiemi $X,Y$ tale che $AA x in X,\ EE! y in Y: (x,y) in f$.
Come vedi, già nella definizione non c’è traccia di “istruzioni” o cose simili.