Frazioni parziali

Salve, è una domanda abbastanza stupida, sicuramente, ma ho questo dubbio. Supponete che ci sia da integrare la seguente funzione fratta $$f(x)=\frac {1}{(x-2)(x+4)}$$. Per cui posso scrivere $$f(x)=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+4)}=\frac{A(x+4)+B(x-2)}{(x+4)(x-2)}$$ e poi trovare opportunamente A e B. Dove nell'ultimo passaggio ho usato le regole sul mcm di funzioni fratte. Ma è proprio su questo che ho un dubbio, supponiamo che io abbia $x=4$, allora al denominatore avremmo $$f(4)=\frac {1}{2*8}=\frac{A}{2}+\frac{B}{8}=\frac{A(8)+B(2)}{2*8}$$ cioè non sto dicendo che il mcm tra $2$ e $8$ sia $16$, quando ciò non è vero? Dove sbaglio il ragionamento?

Beh, ma puoi semplificare con un $2$ al numeratore… Dopotutto, $(8A + 2B)/(2*8) = (4A + B)/8$ e tutto torna.

Ma quello che ti inquieta non sembra essere il conto in sé, quanto, più che altro, che $text(mcm)(p(x), q(x))$ (qui $p(x), q(x)$ sono polinomi a coefficienti interi) valutato in $x=c in ZZ$ non sempre restituisca $text(mcm)(p(c),q(c))$, ossia che in generale risulta $text(mcm)(p(x),q(x))|_(x=c) != text(mcm)(p(c), q(c))$.

Questo è un fatto che pare dipendere da quest’altro: anche se nell’anello dei polinomi $ZZ[x]$ gli elementi $p(x)$ e $ q(x)$ sono primi tra loro, non è detto che ciò accada anche per ogni loro valutazione $p(c), q(c) in ZZ$.