Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
02/12/2019, 18:17
ciao
scusata ma credo di stare a perderemi in un bicchiere d'acqua
ho questo limite
$ lim x->oo ((1+1/x)^(x^2)-e^x-2x)/(3e^x-x^3) $
so che dovrebbe fare $-1+1/(e^(1/2))$
ora io non riesco a capire dove salta fuori la radice
il passaggio iniziale che farei io e' fare diventare x^2 in x
$(1+1/x)^x)^x$ e da qui applico l equivalenza sintotica e mi ritrovo $(e^x-e^x-2x)/(3e^x-x^3)$ che tende tutto a zero....so che per voi e' banale ma cosa sbaglio?
02/12/2019, 19:02
Ciao gaussie,
Raccoglierei $e^x $ al numeratore e al denominatore:
$ \lim_{x \to +\infty} ((1+1/x)^(x^2)-e^x-2x)/(3e^x-x^3) = 1/3 \cdot \lim_{x \to +\infty} (e^{x^2 ln(1 + 1/x)}-e^x-2x)/(e^x-x^3/3) = $
$ = 1/3 \cdot \lim_{x \to +\infty} (e^{x^2 ln(1 + 1/x) - x}- 1-(2x)/e^x)/(1-x^3/(3e^x)) = 1/3 \cdot (e^{- 1/2}- 1-0)/(1- 0) = 1/3 \cdot (- 1 + 1/sqrt{e}) $
02/12/2019, 19:29
ma e' proprio li che non capisco
$lim (x^2*log(1+1/x)-x)$ il logaritmo non dovrebbe diventare 1/x visto che con x tendente ad infinito quello si comporta come uno zero quindi $x^2*1/x-x$?
02/12/2019, 19:40
Beh, non ti puoi fermare al primo ordine perché si è in presenza di una cancellazione visto il $- x$:
$ x^2 ln(1 + 1/x) - x = - 1/2 + 1/(3x) + o(1/x^2) $
02/12/2019, 19:50
niente
ufficiale mi sono rimbabito
grazie scusa per lo sbatti
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