Vi sembra giusta questa dimostrazione

Ma nel testo la sommatoria non deve partire da 0? Se no a me sembra falso anche per $f(x)=x^2$...

Comunque, se il testo corretto è quello con la sommatoria che parte da 0, allego una possibile dimostrazione (che interpreta un po' quello che ha detto nexus qualche messaggio fa):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dato $f$ polinomio tale che \( f(x) \geq 0 \ \ \forall x \) (quindi forzatamente di grado pari, diciamo $n$)
Pongo \( h(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) \)
Voglio dimostrare \( h(x) \geq 0 \ \ \forall x \)

Poiché $h$ è polinomio di grado pari vale \( \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}h(x)=+\infty \)
Quindi $h$ assume minimo in \( x_{min} \)
Quindi \( 0=h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min}) \)
Da cui \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min}) \geq 0 \)
Segue la tesi.

@jinsang: non riesco a capire perché \(\sum f^{(k)}(x_{\mathrm{min}})\) sia uguale a \(f(x_{\mathrm{min}})\).

interpreta un po' quello che ha detto nexus

Come dice Quinzio, Nexus ha fatto come Fermat.

non riesco a capire perché $\sumf^{(k)}(x_{min})$ sia uguale a $f(x_{min})$.

Perché \( h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min})=0 \)
E quindi \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min})+\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min})= f(x_{min})+ h'(x_{min})=f(x_{min}) \)

Come dice Quinzio, Nexus ha fatto come Fermat.

E' vero! S'è fermat tropp prest

Buona dimostrazione.