Carattere di una serie: criterio della radice

Buonasera, ho provato a svolgere un esercizio sullo studio di una serie attraverso il criterio della radice (richiesto dall'esercizio), ma purtroppo non riesco a proseguirlo:
$ sum((3n)/(5n+1))^(2n-1) $
$ (3n)/(5n+1)>=0 $
$ lim((3n)/(5n+1))^((2n-1)/n)= lim((3n)/(5n+1))^(2)*((3n)/(5n+1))^(-1/n) $
E purtroppo da qui non so più come andare avanti.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo.

Ciao cesc097,

Non capisco le tue perplessità, dato che si ha:

$\lim_(n \to +\infty) root(n){a_n} = \lim_(n \to +\infty) ((3n)/(5n+1))^((2n-1)/n)= (3/5)^2 < 1 $

Ciao cesc097,

Non capisco le tue perplessità, dato che si ha:

$\lim_(n \to +\infty) root(n){a_n} = \lim_(n \to +\infty) ((3n)/(5n+1))^((2n-1)/n)= (3/5)^2 < 1 $

Quindi semplicemente la "seconda parte" del limite tende ad uno? Era questo il mio dubbio, credevo di non poter operare così.

Quindi semplicemente la "seconda parte" del limite tende ad uno?

Sì, ma la "seconda parte" come la chiami tu non è neanche necessaria, nel senso che basta fare il limite dell'esponente:

$ \lim_(n \to +\infty) (2n - 1)/n = 2 $

In altre parole, il limite non è in forma indeterminata… Quindi perché armare tutto quel conto?

Vi ringrazio.