Equazione complessa

Salve, ho un problema con questa equazione con numeri complessi: $ z|z|-2z+i=0 $ .
L'ho risolta inizialmente utilizzando la forma algebrica: ovvero imponendo $ z=x+iy $ , così facendo riesco a trovare le due soluzioni $ z=i $ e $ z = i(−1 −√2) $ . Il problema è che provando a risolverla utilizzando la forma esponenziale: $ z=rho e^(ivartheta ) $ e $ |z|=rho $ riesco a trovare soltanto la seconda soluzione $ z = i(−1 −√2) $ ma non la prima $ z=i $. In pratica dopo aver effettuato le sostituzioni per passare alla forma esponenziale mi ritrovo questa equazione $ e^(ivartheta )(rho ^2-2rho )=e^(i3/2pi) $ . Successivamente impongo che si verifichino le seguenti condizioni per soddisfare l'uguaglianza: $ rho ^2-2rho -1=0 $ e $ vartheta =3/2pi+2kpi $ . Risolvendo ottengo $ rho=1+sqrt(2) $ e $ vartheta =3/2pi $ da cui segue appunto la seconda soluzione; ma come dicevo all'inizio non riesco a ricavare anche la prima. Sarei grato se qualcuno riuscisse a dirmi dove sbaglio.

Basta osservare che:

$(\rho^2-2\rho)e^(i\theta)=(2\rho-\rho^2)e^(i(\theta+\pi))$

Grazie mille, non ci avevo pensato. A dir la verità non ci sarei mai arrivato. Perché di solito utilizzando la forma esponenziale mi riconduco sempre ad un sistema di due equazioni, di cui una sul modulo $ rho $ e una sull'angolo del tipo $ n*vartheta = angolo + 2kpi $ (in questo caso $ n=1 $ e $ angolo=3/2pi $ ), e sostituendo con $ k=1,2,... $ riesco a trovare tutte le soluzioni.

Sinceramente non riesco a capire perché in questo esercizio non accada la stessa cosa.

Sinceramente non riesco a capire perché in questo esercizio non accada la stessa cosa.

Perché il procedimento generale è più articolato. Se vuoi procedere meccanicamente:

$z=\rhoe^(i\theta) rarr$

$rarr f_1(\rho)e^(ig_1(\theta))=f_2(\rho)e^(ig_2(\theta)) rarr$

$rarr \{(f_1(\rho)*f_2(\rho) gt= 0),(f_1(\rho)=f_2(\rho)),(g_1(\theta)=g_2(\theta)+2k\pi):} vv \{(f_1(\rho)*f_2(\rho) lt 0),(f_1(\rho)=-f_2(\rho)),(g_1(\theta)=g_2(\theta)+(2k-1)\pi):}$

In questo caso:

$(\rho^2-2\rho)e^(i\theta)=e^(i3/2\pi) rarr$

$rarr \{(f_1(\rho)=\rho^2-2\rho),(g_1(\theta)=\theta):} ^^ \{(f_2(\rho)=1),(g_2(\theta)=3/2\pi):} rarr$

$rarr \{(\rho^2-2\rho gt= 0),(\rho^2-2\rho=1),(\theta=3/2\pi+2k\pi):} vv \{(\rho^2-2\rho lt 0),(\rho^2-2\rho=-1),(\theta=3/2\pi+(2k-1)\pi):} rarr$

$rarr \{(\rho=1+sqrt2),(\theta=3/2\pi+2k\pi):} vv \{(\rho=1),(\theta=\pi/2+2k\pi):}$

Ok adesso è tutto molto più chiaro. Grazie ancora per la chiarezza e per la disponibilità!