Ciao algins,
Benvenuto sul forum!
Come ti ha già fatto presente gugo82 stai commettendo diversi errori...
Ripercorrendo un po' quanto hai scritto nei tuoi post, la derivata prima comparsa nel primo post e l'esponenziale nell'ultimo mi è venuto il dubbio che tu in realtà stia cercando la soluzione dell'equazione differenziale seguente:
$\ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $
ove $\omega_n := \sqrt{k/m}$ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $
Si trova che la soluzione di tale equazione è la seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Ora se $c^2 < 4mk \implies \zeta^2 - 1 < 0 $ (il che accade anche nel caso particolare $\zeta = 0 $) la soluzione può essere scritta nella forma seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $
dove si è posto $\omega^2 := \omega_n^2 (1 - \zeta^2) $. Quest'ultima può anche scriversi nella forma seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $
nella quale compaiono come costanti $A $ e $\phi $.
In generale tieni presente che nei fenomeni fisici se compaiono degli esponenziali devono tendere a $0 $ per $t \to +\infty $, altrimenti viene a mancare il significato fisico...