11/05/2020, 11:25
11/05/2020, 16:51
11/05/2020, 19:35
algins ha scritto:1) La dimostrazione prevede di prendere due diversi differenziali (so che il differenziale della funzione è in generale una funzione di x_0 e dell'incremento h, cioè di due variabili).
Ora, presi due differenziali $alphah$ e $betah$ (qui il dubbio 1a, perché prende il differenziale solo funzione di h e non anche di x_0?)
algins ha scritto:Ma procediamo, fatto questo scrivo:
$f(x_0+h)-f(x_0)-alphah=o(|h|)$ (dubbio 1b, perché è o-piccolo delmodulo di h e non solo di h?)
$f(x_0+h)-f(x_0)-betah=o(|h|)$
algins ha scritto:Svolgendo la differenza ho
$(alpha-beta)h=o(|h|)$ (dubbio 1c, come fa a passare da $alpha h-beta h$ a quanto scritto? Per linearità dovrebbe essere $a(x+y)=a(x)+a(y)$ e non $a(x)+b(x)=(a+b)x$ la linearità lavora sugli argomenti non sulla somma di funzioni, non mi è molto chiaro)
algins ha scritto:Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apre il mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero )
algins ha scritto:2) la seconda cosa che mi chiedo è questa: ma se con il teorema del differenziale dimostro che una funzione è differenziabile, ossia ammette differenziale SE E SOLO SE è derivabile (ossia posso dimostrare che partendo dalla definizione di differenziale giungo alla definizione di derivata in quel punto e viceversa, non la scrivo poiché mi è chiara e non è qui il dubbio), data l'unicità della derivata non dovrei automaticamente anche dimostrare che il differenziale è unico?
Infatti la dimostrazione mostra che $alpha(h)$ coincide con $f'(x)*h$ e f'(x) è unico. Cosa serve quindi la dimostrazione 1?
12/05/2020, 09:13
Beh, è lo stesso... Dalla definizione ricavi $"o"(h) = "o"(|h|)$.
Hai $alpha h + "o"(|h|) = f(x_0 + h) - f(x_0) = beta h + "o"(|h|)$, quindi $alpha h + "o"(|h|) = beta h + "o"(|h|)$ da cui $(alpha - beta) h = "o"(|h|)$.
La definizione di differenziale è indipendente (fino ad un certo punto) da quella di derivata.
Quindi prima si fa vedere che il differenziale è quello che è con le sue belle proprietà; poi si dimostra che è legato alla derivata (e le proprietà le puoi derivare anche dalle proprietà della derivata).
algins ha scritto:Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apre il mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero )
Basta usare la definizione di $"o"$ o quella pseudo-definizione che sicuramente ti hanno dato in aula.
12/05/2020, 15:28
algins ha scritto:Grazie gugo82 , provo a rispondere ai tuoi spunti, sono davvero contento qualcuno mi abbia ascoltato. Grazie assai!
algins ha scritto:Beh, è lo stesso... Dalla definizione ricavi $"o"(h) = "o"(|h|)$.
Andrebbe bene una dimostrazione del genere?
(indico con $f(h)$ una funzione che appartiene alla classe $o(h)$)
HP: $lim_(h->0)(f(h))/(h(h))=0$
TH: $lim_(h->0)(f(h))/(|h(h)|)=0$
DIM: $lim_(h->0)(f(h))/(h(h))*(h(h))/(|h(h)|)$ e poiché per hp il primo è uguale a zero con l'algebra estesa dei limiti ho $lim_(h->0)(0*(h(h))/(|h(h)|))=0$
algins ha scritto:Hai $alpha h + "o"(|h|) = f(x_0 + h) - f(x_0) = beta h + "o"(|h|)$, quindi $alpha h + "o"(|h|) = beta h + "o"(|h|)$ da cui $(alpha - beta) h = "o"(|h|)$.
Questo perché il differenziale è lineare e in $RR$ una funzione lineare è sempre del tipo $mx$ (ove m è $alpha$ o $beta$ nello specifico), quindi:
$alphah-betah$ raccolgo la h $(alpha-beta)h$
In realtà quello che prima mi sfuggiva e poi ho chiarito era che erano tutte della forma $mx$, altrimenti non potevo farlo. Credo fosse quello il problema di fondo .
algins ha scritto:La definizione di differenziale è indipendente (fino ad un certo punto) da quella di derivata.
Quindi prima si fa vedere che il differenziale è quello che è con le sue belle proprietà; poi si dimostra che è legato alla derivata (e le proprietà le puoi derivare anche dalle proprietà della derivata).
Ok perfetto, però una volta dimostrato che il coefficiente del differenziale ($alpha$ per intenderci) è la derivata in quel punto, automaticamente ho anche dimostrato che il differenziale è unico, giusto?
Insomma è un percorso diciamo didattico ma a livello pratico posso anche mostrarlo con il teorema del differenziale dove mostro essere la stessa cosa.
Spero sia tutto giusto nel caso bacchettami senza pietà
algins ha scritto:Mi rimarrebbe solo un dubbio nel caso non abbia detto solo fandonie sopra, ossiaalgins ha scritto:Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apre il mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero )
Basta usare la definizione di $"o"$ o quella pseudo-definizione che sicuramente ti hanno dato in aula.
Mi stai suggerendo che:
$lim_(h->0)((alpha-beta)(h))/(h(h))=lim_(h->0)(o(h))/(h(h))=0$ quindi la funzione $alphah=betah$ nel limite.
se volevi dirmi questo, si è vero, però quello che mi stona è il fatto che sono uguali al limite h->0, ma non sono la stessa funzione. Non dovrei dimostrare che la funzione differenziale è solo una? Mi sembra che qui dico: possono essere anche due diverse, basta al limite coincidano.
12/05/2020, 16:02
L'idea è quella, ma la dimostrazione non va per il semplice fatto che... Che diamine è h(h)?
No, non hai capito. Rileggi con più attenzione.
Quando è che mh=o(h)?
12/05/2020, 16:58
12/05/2020, 17:15
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.
Powered by phpBB © phpBB Group - Privacy policy - Cookie privacy
phpBB Mobile / SEO by Artodia.