Dimostrazione Proprietà lim sup e lim inf

Buongiorno non riesco a dimostrare il fatto che lim inf <= lim sup.
So che (inf k>n) <= (sup k>n) per ogni n, ma come giustifico che applicando sup e inf rispettivamente a sinistra e a destra l'uguaglianza si conserva?

Tieni presente che il sup di una successione crescente è un limite. Anche l'inf di una successione decrescente è un limite.