Equazioni differenziali secondo ordine

Siano
$y''−2y' +2y= cos t$e $y(t)$ sia una soluzione dell’equazione; si ha:
• tutte le y(t) sono periodiche
• vi è un’unica y(t) periodica
• nessuna delle altre
• nessuna y(t) è periodica

Io ho pensato alla prima, perché risolvendo l’equazione omogenea associata trovo che il delta è negativo quindi dipende da coseno e seno e anche la soluzione particolare dipende da coseno e seno( per metodo di somiglianza) è corretto?
Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?
Grazie

Ciao AndretopC0707,

Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?

Beh, magari non proprio senza fare calcoli, ma facendone di molto semplici sì...
L'equazione differenziale proposta è la seguente:

$y''−2y' +2y = cos t $

La soluzione $y(t) $ di una equazione differenziale si può sempre scrivere nella forma seguente:

$y(t) = y_o(t) + y_p(t) $

ove $y_o(t) $ è la soluzione dell'equazione omogenea associata e $y_p(t) $ è una soluzione particolare che, facendo uso del metodo di somiglianza vista la forma del termine noto, si può scrivere nella forma $y_p(t) = A sin t + B cos t $ con $A $ e $B$ opportune costanti da determinare.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata è molto semplice:

$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0 $

Da quest'ultima si ottengono subito le due soluzioni $\lambda_{1,2} = 1 \pm i $ e di conseguenza si ha:

$y_o(t) = c_1 e^t sin t + c_2 e^t cos t $

A questo punto dovresti essere in grado di individuare qual è la risposta corretta...

Va bene grazie.
La risposta corretta è la prima giusto?

Va bene grazie.

Prego.

La risposta corretta [...]

Alla risposta corretta ci si arriva ragionando: $e^t $ è una funzione periodica?

In che senso?

$e^t cost$ è periodica, anche per il seno.
Poi sommo la particolare e trovo che è comunque periodica perché sono sempre seno e coseno.
Non è corretto?

$e^t \cos t$ non è periodica, prova ad applicare la definizione di funzione periodica e vedrai che non è soddisfatta.

Quindi quale è la risposta corretta?

AndretopC0707, il forum non funziona così. Avevi un'idea, ti abbiamo fatto vedere come mai non è corretta, ora ci pensi un po' su e, se non ne esci, torni qui e ne discutiamo nuovamente.
Tuttavia pensarci su significa portare argomenti a favore di una scelta e argomenti a sfavore delle altre; anche perché altrimenti non imparerai mai a ragionare autonomamente.

Io ho detto che secondo me la risposta corretta è la prima,
se non è corretto, non saprei.
Mi viene da pensare che allora l’unica possibile sia che ce ne è solo una, nel caso in cui sia $c1$ che $c2$ siano nulle.
Non saprei altrimenti