normale a una superficie

Ciao a tutti mi sono trovato un po' confuso utilizzando i vettori normali a una superficie.
Ho provato a chiarirmi le idee cercando il vettore normale alla sfera nel punto $(1,0,0)$. Dapprima ho pensato la superficie in maniera implicita: $x^2+y^2+z^2-1=0$ e a questo punto so che il vettore normale è semplicemente il gradiente valutato nel punto, ovvero $(2,0,0)$. Questo risultato è in linea con l'intuizione tuttavia questa formula mi sembra abbastanza piovuta dal cielo e non so come interpretarla. Poi ho provato a parametrizzare la sfera tramite $x=x, y=y, z=1-x^2-y^2$ e ho trovato i vettori tangenti $(1,0,-2) (0,1,0)$ che generano il piano $2x1-x3=2$ per cui il vettore normale risulta essere $(2,0,-1)$. Io credo che siano proprio i vettori tangenti ad essere sbagliati visto che il piano avrebbe solo una retta in comune con $x3=0$ ma non capisco il problema.
Grazie dell'aiuto!
P.s. Non ha senso parlare di piano tangente a una curva, giusto? o forse coincide con uno tra normale, osculatore e rettificante

La parametrizzazione della sfera è sbagliata: \(x^2 + y^2 + z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = 1 - x^2 - y^2 \Rightarrow z = \pm \sqrt{ 1 - x^2 - y^2 }\).

.. grazie.
invece il piano tangente a una curva non esiste, vero?

Esiste il vettore tangente. Più in generale, data una \(n\)-varietà regolare (vedila come una generalizzazione di curve e superfici) immerse in \(\mathbb{R}^m\) esiste un \(n\)-sottospazio affine tangente alla varietà per ogni suo punto. La curva è una varietà di dimensione 1 e quindi il suo spazio tangente ha dimensione 1. La superficie nello spazio ha uno spazio tangente di dimensione 2 e un solido in \(\mathbb{R}^4\) ha uno spazio tangente di dimensione 3.

Grazie!