Serie termini alterni: convergenza e divergenza

... se non caricassi la foto, penso che anche il testo risulterebbe molto meno chiaro

Niente può essere meno chiaro di quella "cosa"

Il paradosso, poi, sono le "paginate" ed il tempo perso nel giustificarsi ...

Non è stata colpa mia!

Moderatore: gugo82

Anche perché poi, a lungo andare, i moderatori si spazientiscono e cominciano a chiudere thread ed a sospendere le utenze finché non viene rispettato il Regolamento...

Quindi che si fa?

La serie proposta converge per $ x < - 1 \vv x >= 1 $ e se ne può anche determinare in modo relativamente semplice la somma, dato che si ha:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^{n + 2}/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} $

Posto per comodità $y := - 1/x $ e $m := n + 2 $, la serie proposta diventa la seguente:

$ \sum_{m = 4}^{+\infty} y^m/(m + 1) = \sum_{m = 0}^{+\infty} y^m/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = 1/y \sum_{m = 0}^{+\infty} y^{m + 1}/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = $
$ = - (ln(1 - y))/y - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 $

per $- 1 <= y < 1 $. A questo punto, ricordando che $y := - 1/x $, si ha:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} = x ln(1 + 1/x) - 1 + 1/(2x) - 1/(3x^2) + 1/(4x^3) = $
$ = \frac{12x^4 ln(1 + 1/x) - 12x^3 + 6x^2 - 4x + 3}{12x^3} $

per $x < - 1 \vv x >= 1 $