Differenziabilità e continuità

Buongiorno, scusate se posto una foto anziché scrivere ma ho un problema con la dimostrazione del libro e il modo più efficace per illustrarvi il mio dubbio è postarvi direttamente la foto.
Nella prima disuguaglianza manca un gradiente a $f(x_0, y_0)(x-x_0, y-y_0)$.
Quello che non ho capito è la seconda disuguaglianza: $||(x-x_0, y-y_0)||$ non dovrebbe essere minore di $(x-x_0, y-y_0)$? Il primo termine è un'ipotenusa, il secondo è (se ho capito bene) una somma di cateti: $(x-x_0) + (y-y_0)$ (supponendo che $x>x_0$ e $y>y_0$. Se ho inteso bene la notazione la seconda disuguaglianza mi sembra falsa.
Scusate se ho sbagliato sezione, frequento economia e in altre sezioni penso avrei avuto risposte più dettagliate che esulano dallo scopo del corso che sto seguendo.
Grazie in anticipo.

Ciao HowardRoark,

Ti confesso che vedere uno come te, Senior Member del forum con oltre 750 post, postare una foto mi è sembrato un po' brutto...

Nella prima disuguaglianza manca un gradiente a $f(x_0,y_0)(x−x_0,y−y_0)$

Sì, e non è l'unico errore: la prima disuguaglianza in realtà è un'uguaglianza (semplicemente si è aggiunto e poi tolto al numeratore il prodotto scalare $\nabla f(x_0, y_0) \cdot (x - x_0, y - y_0) $), poi misteriosamente dopo il segno $\le $ nell'espressione a numeratore compare dal nulla un modulo che non c'era nei passaggi precedenti.
Direi che la scrittura corretta sia la seguente:

$ |f(x, y) - f(x_0, y_0)| = |f(x, y) - f(x_0, y_0)|/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle|| ||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle|| = $
$ = [|f(x, y) - f(x_0,y_0) - \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0) |/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle||] \times $
$ \times ||\langle x - x_0,y - y_0 \rangle|| \le $

$\le [|{f(x, y) - f(x_0,y_0) - \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0) + \nabla f(x_0,y_0) ||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle||}|/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle||] \times $
$ \times ||\langle x - x_0,y - y_0 \rangle|| \le $

$ \le [|f(x, y) - f(x_0,y_0) - \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0)|/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle|| + |\nabla f(x_0,y_0)|] \times ||\langle x - x_0,y - y_0 \rangle|| $

Grazie tante per la risposta, mi hai chiarito molto le idee. Purtroppo stiamo facendo questa parte di matematica in maniera molto approssimativa (questa dimostrazione in aula non l'abbiamo neanche fatta), e i vari refusi del libro non aiutano a capirla meglio.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hai ragione riguardo la foto, credo che il problema sia legato al fatto che dopo un po' queste scompaiono e il thread diventa inutile. Dovrò abituarmi a scrivere qui con tutti questi nuovi simboli

i vari refusi del libro non aiutano

Buttalo via...

Ma infatti che libro è, per curiosità?

Ma infatti che libro è, per curiosità?

Matematica per le applicazioni economiche, edito da Pearson, di Loretta Mastroeni e Alessandro Mazzoccoli. Penso sia un libro molto essenziale adatto a noi di economia, lo trovo anche piuttosto chiaro però ci sono una marea di errori, sia nella teoria che negli esercizi.