Esercizio con serie parametrica

In questo modo mi torna, grazie mille. Sai se ci sono ulteriori metodi per risolvere?

In questo modo mi torna, grazie mille.

Prego.

Sai se ci sono ulteriori metodi per risolvere?

Non l'ho fatto, ma si potrebbe anche provare a dimostrare che la funzione

$f(x; \alpha) := (e^{ln(2x)/(2x)} - 1)x^{\alpha}$

è decrescente per $0 < \alpha < 1 $ e $x \ge 1 $, cioè ha derivata negativa almeno da un certo valore di $x$ in poi.

Va bene grazie

Ho provato a studiare numericamente la derivata di $f(x; \alpha) $ e ho notato quanto segue:
- per valori di $\alpha $ vicini a $0$, come ad esempio $\alpha = 1/10 = 0,1 $, la funzione mi risulta decrescente quasi subito, per $x \ge 2$;
- per valori di $\alpha $ vicini a $1$, come ad esempio $\alpha = 1 - 1/10 = 0,9 $, la funzione mi risulta decrescente, ma per $x \ge 10787$;
- per $\alpha = 1/2 = 0,5 $, la funzione mi risulta decrescente per $x \ge 3$

Si può fare una conclusione generale anche quando $0<alpha<1$?

Provaci, la derivata della funzione $f(x; \alpha) = (e^{ln(2x)/(2x)} - 1)x^{\alpha} $
è la seguente:

$(\del f)/(\del x) = 1/2 x^(\alpha - 2) [2 a x (e^{ln(2x)/(2x)} - 1) - e^{ln(2x)/(2x)} ln(x) - e^{ln(2x)/(2x)}(ln2 - 1)] = $

$ = 1/2 x^(\alpha - 2) [2 a x e^{ln(2x)/(2x)} - 2ax - e^{ln(2x)/(2x)} (ln(x) + ln2 - 1)] = $

$ = 1/2 x^(\alpha - 2) [e^{ln(2x)/(2x)}(2ax - ln(2x) + 1) - 2ax] $

Occorre vedere per quali valori di $x \ge 1 $ e $0 < \alpha < 1 $ tale derivata è negativa.

Ok grazie dopo guardo