Analisi locale di problemi di Cauchy

Ciao a tutti!
Mi trovo davanti al quesito seguente:

"Sia $ y(x) $ la soluzione del problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y' = 3e^x - y^2 \\
y(0) = 1
\end{cases}
\]
Allora il grafico di $ y(x) $ vicino all'origine ha tangente positiva o negativa? Concavità rivolta verso l'alto o verso il basso?

Sapendo già che $ y(0) = 1 $, ottengo:
\[
y'(0) = 3e^0 - (1)^2 = 2 > 0
\]
Derivando poi $ y'(x) $ ottengo:
\[
y'' = 3e^x - 2yy'
\]
da cui, sostituendo con i valori trovati fin'ora, ottengo:
\[
y''(0) = 3e^0 - 2(1) \cdot 2 = -1 < 0
\]

Da cui deduco che la soluzione, vicino al punto $ x = 0 $, ha retta tangente positiva e concavità rivolta verso il basso.

Avrei bisogno di un controllo della mia soluzione, e nel caso di delucidazioni in merito.
Come al solito, grazie.

Ultima modifica di ncant il 10/02/2024, 15:10, modificato 1 volta in totale.

Tutto giusto! Ti consiglio, tuttavia, di rileggere il tuo vecchio post simile a questo, perché devi giustificare sia l'esistenza della soluzione sia la regolarità della stessa (non esistono sempre le derivate seconde, e il segno delle derivate prima e seconda non basta che sia positivo o negativo puntualmente ma deve esserlo in tutto un intorno di \(0\) per poter trarre le conclusioni che hai tratto).

Per il teorema di esistenza, considerando $ y'(x) = F(x, y) $ e $ F = 3e^x−y^2 $, il problema in questione ha almeno una soluzione locale. Inoltre, essendo $ F $ "un po' meglio di continua" (diciamo derivabile), allora la soluzione del problema di Cauchy è unica.

Per fare un'affermazione rigorosa, dovrei verificare che $ F $ sia definitivamente Lipschitziana...

"Tangente positiva o negativa"?
Ma chi li scrive i testi?

Carissimo gugo,
devo proprio esprimermi?

Carissimo gugo,
devo proprio esprimermi?

Cosa ti frena?