volume cilindro in una sfera

Problemino:
Se si pratica in una sfera di raggio R un buco cilindrico avente raggio r, in modo che l'asse del cilindro passa per il centro della sfera, quale sarà il volume residuo della sfera?
Volume cilindro $V_C= pi r^2 h$, l'altezza del cilindro è 2R, quindi $V_C=2pir^2R$,
Volume sfera $V_S=(4/3) pi R^3$
Differenza fra i volumi: $V_S - V_C=(4/3) pi R^3 - 2pir^2R$

il risultato corretto invece dovrebbe essere $V_S - V_C==(4/3)pi r^3$ dove la dimensione della sfera scompare.

Il risultato che hai riportato non può essere giusto, deve dipendere per forza da \(R\), suvvia!

In particolare, fissati \(0\le r\le R\), il volume di: \[
\Omega:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2\le R^2,\,x^2+y^2\ge r^2\right\}
\] risulta essere: \[
||\Omega||:=\iiint\limits_{\Omega} 1\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z=\frac{4}{3}\pi\,\left(R^2-r^2\right)^{3/2}
\] in quanto perforando una sfera la carota è l'unione di un cilindro e di due calotte sferiche.

Infatti dovrebbe essere lapalissiano che il volume deve dipendere dal raggio della sfera.
1.
Ho riportato quanto detto a pag. 65 del libretto di David Acheson "Viaggio nel calcolo infinitesimale"
Riporto.
"Si pratica in una sfera un buco cilindrico di altezza L, in modo che l'asse del cilindro passi per il centro della sfera. Qual'è il volume dell'oggetto così creato?
Risposta: $(1/6) pi L^3$, a prescindere delle dimensioni della sfera.
2.
Perchè il tuo calcolo da mio? Dove ho sbagliato? Non basta fare la differenza fra i due volumi?

Come sopra scritto, perforando una sfera da una parte all'altra si ottiene una carota unione di un cilindro a basi piane e due calotte sferiche poste alle estremità, per questo non è corretta la differenza da te scritta.

D'altro canto, se si considera un foro sottile, ossia tale che \(r\to 0^+\), allora sì che si ottiene un cilindretto con \(h \to 2R\), e con tale passaggio al limite la formula di cui sopra porta al risultato atteso. In caso contrario, non c'è alcuna perforazione in atto, bensì esiste una sfera con un incavo cilindrico e i conti sono quelli di ingres.

Ultima modifica di sellacollesella il 13/03/2024, 14:17, modificato 1 volta in totale.

Sul primo punto credo che sia solo da interpretare cosa è L. Se si fa un disegno per cui L è l'altezza del cilindro all'interno della sfera risulterà

$L/2 = sqrt (R^2 - r^2)$

e quindi il risultato correttamente diventa

$4/3 pi * (R^2 - r^2)^(3/2) = 4/3 *pi* L^3/8 = 1/6 pi L^3$

Moderatore: j18eos

Spostato in Analisi Matematica di Base.

Tutto chiaro.
Grazias

Siete troppo seri