Ciao roooxella,
La funzione proposta $z = f(x, y) = x^3 + (e^y - 1)x^2 + 1 $ ha dominio naturale $D = \RR^2 $, codominio $C = \RR $ ed è nulla nel punto $A(- 1, 0) $.
Senz'altro è positiva nel quadrante I, cioè nell'insieme $P := {(x, y) \in D : x \ge 0, y \ge 0} $
roooxella ha scritto:[...]punto (0, y)[...]
Risulta così anche a me. In particolare il punto $(0, 1) $ oltre ad annullare la $(\del f)/(\del y) $ annulla anche il secondo fattore della derivata rispetto a $x$: $(\del f)/(\del x) = x(3x + 2 e^y - 2) $
Nei punti del tipo $(0, y) $ la funzione proposta è costante e positiva:
$f(0, y) = 0^3 + (e^y - 1)\cdot 0 + 1 = 1 $
Non mi risulta che la funzione proposta abbia massimi o minimi relativi.
Nel punto $(1, 0) $ citato nell'OP si ha:
$f(1, 0) = 1^3 + (e^0 - 1)\cdot 1^2 + 1 = 2 $
Nei punti del tipo $ (x, 0) $ in particolare la funzione proposta diventa una cubica:
$z = z(x) = f(x, 0) = x^3 + (e^0 - 1)x^2 + 1 = x^3 + 1 $